Второе квантование: оператор идентификации не коммутирует?

Возьму самый простой пример. Рассмотрим фермонное фоковское пространство$\Lambda^*(\mathbb{C}^n)$построен из конечномерного ориентированного гильбертова пространства с одной частицей$\mathbb{C}^n$с ориентацией

$$[\psi_1,\cdots, \psi_n].$$ Тождественный оператор в этом фоковском пространстве может быть записан как $$1= \sum_{j=1}^n c_j^\dagger c_j,$$ где $c_j,c_j^\dagger$создать и уничтожить $\psi_j$соответственно. Поэтому,$1$должен коммутировать с любым другим оператором . Однако это не так. Брать $c_i$, например: $$[1,c_i]=\sum_{j=1}^n[c_i,c_j^\dagger c_j]=\sum_{j=1}^n(c_ic_j^\dagger c_j-c_j^\dagger c_jc_i)$$ $$~~~~~~~~~=\sum_{j=1}^n(\delta_{ij}c_j-c_j^\dagger c_ic_j-c_j^\dagger c_jc_i)=\sum_{j=1}^n\delta_{ij}c_j=c_i.$$ Кто-нибудь еще находит это запутанным?