Расчет теплопроводности [закрыто]

При условии, что известны некоторые константы материала, разумную оценку можно получить с помощью сосредоточенного термического анализа .

Синяя оболочка - это защитный силикон. Окружающая температура$T_{\infty}$($180\:\mathrm{C}$) и ищем функцию$T(t)$.

Сосредоточенный анализ предполагает, что температура сферы однородна (отсутствуют радиальные температурные градиенты).

Используя закон охлаждения/нагрева Ньютона, мы можем описать тепловой поток, поступающий в сферу, как:

$$\frac{\mathbf{d}Q}{\mathbf{d}t}=uA[T_{\infty}-T(t)],\tag{1}$$

где$u$общий коэффициент теплопередачи и$A$площадь поверхности сферы (при условии, что слой силикона не слишком толстый).

Бесконечно малый тепловой поток$\mathbf{d}Q$заставляет сферу нагреваться$\mathbf{d}T$, соотв.:

$$\mathbf{d}Q=mc_p\mathbf{d}T(t),\tag{2}$$ где $m$масса шара и $c_p$его удельная теплоемкость. Замена $(2)$в $(1)$мы получаем:

$$\frac{mc_p\mathbf{d}T(t)}{\mathbf{d}t}=uA[T_{\infty}-T(t)]\tag{3}$$

$(3)$представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаемое путем разделения переменных, и оно дает:

$$\ln\Bigg[\frac{T_{\infty}-T(t)}{T_{\infty}-T_0}\Bigg]=-\frac{uA}{mc_p}t,\tag{4}$$

где$T_0$- начальная температура сферы и$T(t)$температура спустя время$t$. Так$(4)$описывает ок. температурная эволюция сферы.

Общий коэффициент теплопередачи$u$можно оценить для не слишком больших толщин$\theta$силиконовой оболочки:

$$\frac1u\approx\frac{1}{k_1}+\frac{\theta}{\kappa}+\frac{1}{k_2},\tag{5}$$ где:

1. $k_1$– коэффициент теплопередачи от теплоносителя к кремнию,$k_2$– коэффициент теплопередачи от силикона к сфере.
2. $\kappa$- теплопроводность силикона.

Установив$T(t)$до желаемого «безопасного» значения и с помощью$(4)$,$u$тогда можно оценить. И с помощью$(5)$, минимум$\theta$можно вычислить так$T(t)$не превышает безопасной температуры.

Это сложный вопрос, и любой из математических ответов даст вам только оценку. Если вы хотите получить ответ, на который можно положиться, вам нужно поэкспериментировать или использовать что-то вроде конечно-элементного моделирования .

Я не могу дать полный ответ, но, возможно, укажу вам на начальную структуру.

Задача решается уравнением теплопроводности. Это дифференциальное уравнение в частных производных, которое вам нужно решить. Мы можем попытаться думать об этом только в одном измерении (т.е. толщине изоляции).

$\frac{\partial u}{\partial t} (x, t) = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)$

Здесь температура$u(x,t)$и$k$это теплопроводность. Нам нужно установить некоторые граничные и начальные условия. На внешней поверхности изоляции$x=R$, мы можем установить$u = T_{bath}$для всех$t$.

Для внутренней поверхности изоляции, я думаю, упрощением было бы думать о сплошной сфере изоляции, а не о оболочке. Это упрощает математику и, вероятно, более консервативно. Тогда мы могли бы задать начальное условие$u = T_{room}$, и обеспечить, чтобы первая производная$\frac{\partial u}{\partial x} \rvert_{x=0}$стремится к нулю для всех$t$.

Также необходимо выбрать начальный температурный профиль$u(x,0)$. На самом деле он будет прерывистым, но если вы выберете гладкую функциональную форму, это облегчит математику.

Тогда то, что вы хотите найти, это толщина$R$так что температура$u$в$x=0$меньше, чем ваша цель после заданного количества времени.

Вы, вероятно, можете сказать, что это не самый простой вопрос, и я бы не стал доверять его результату в реальном приложении без существенного фактора безопасности.

Я бы попробовал это экспериментально. Не запекайте свой прототип. Испеките термопару и измерьте температуру.

Навскидку, я бы предположил, что меньше нескольких дюймов недостаточно.