Расчет времени нагрева холодной воды в миске с горячей водой

На ваш вопрос нет простого ответа.

Предположим, у вас есть твердая бутылка, а не бутылка с жидкой водой, тогда вы можете решить уравнение теплопроводности , чтобы описать изменение температуры во времени. Вам, вероятно, нужно будет сделать это численно, поскольку только особые случаи, такие как сферы, позволят получить аналитическое решение. Однако даже в этом случае вы не можете ответить на вопрос типа «сколько времени требуется, чтобы нагреться до xx градусов», потому что объект не имеет однородной температуры. Там будет градиент температуры от поверхности к середине.

С бутылкой воды жизнь еще более сложна, потому что вода внутри бутылки будет создавать конвекционные потоки , когда она начнет нагреваться, и это еще больше усложнит ваши расчеты.

Однако вы, вероятно, можете упростить задачу, если предположите, что вода в бутылке энергично перемешивается, а вода снаружи энергично перемешивается, так что вся вода имеет одинаковую температуру. В этом случае тепловой поток будет просто контролироваться толщиной стенок бутылки и теплопроводностью стенок бутылки.

Если мы немного упростим систему и предположим, что тепловой поток через стенку бутылки одномерен, то мы можем использовать закон Фурье для теплового потока:

$$\dot{q} = k \frac{T_w - T_b}{d}$$

где$T_w$температура водяной бани,$T_b$температура воды в бутылке,$k$- теплопроводность стенки бутылки и$d$- толщина стенки бутылки. Для решения возьмем внешнюю температуру$T_w$быть постоянным, и обратите внимание, что изменение температуры бутылки$T_b$равна переданному теплу, деленному на общую удельную теплоемкость содержимого бутылки. Не вдаваясь во все детали, решение этого уравнения дает:

$$T_w - T_b = A \space e^{-Bt}$$

где$A$и$B$являются константами, которые содержат вклады от таких вещей, как теплопроводность стенки бутылки, площадь стенки, толщина стенки и теплоемкость жидкости в бутылке. Я свел все к двум константам, потому что, честно говоря, вычисления из первых принципов сложны, и мы обычно просто проводим несколько экспериментов, чтобы откалибровать систему. Измерив константы, вы можете использовать их для расчета поведения системы при любых начальных условиях.