Распределение тока вращающегося конуса

Если у меня есть полый конус (поверхность без нижней крышки), как на картинке. Конус имеет поверхностную заряженную плотность$\sigma$. Он вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью$\omega$. Я хочу найти распределение тока по поверхности конуса.

Под распределением тока я подразумеваю следующее. Я могу написать ток как:

Это полезно в других ситуациях, например, когда у меня есть провод с линейной плотностью заряда.$\lambda$

Я могу использовать уравнение (1) для нахождения тока, если плотность тока$\lambda$. Как я могу написать$q=\lambda l$,$\frac{dq}{dl}=\lambda$и$I=\frac{dq}{dt}=\lambda v$.

То же самое следует для заряженного листа, если ширина$b$с плотностью тока$\sigma$. Как я могу написать$q=\sigma a=\sigma bl$,$\frac{dq}{dl}=\sigma b$и$I=\frac{dq}{dt}=\sigma bv$.

Но с конусом, что я могу сделать с конусом. я могу написать$q=\sigma a=\sigma \frac{2\pi r}{2l}$. Но так как длина$s_n$одного кругового провода ток изменяется от 0 до$2\pi r$.В отличие от того, что было раньше, ширина была постоянной. Что я могу сделать ?

Моя попытка длины, которая варьируется$s=2\pi r_{change}$, сейчас$q=\sigma \frac{s}{2l}$.$\frac{dq}{dl}=\sigma \frac{1}{2l}$и$I=\frac{dq}{dt}=\sigma \frac{v}{2l}$.

Понятно, что$v=wr$так как это круговое движение.