Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

Question

Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

Сёрен

Меня смущает применение закона Фарадея к ситуациям с цепью, состоящей из двух петель, которые охватывают два разных изменяющихся магнитных потока. Какой из двух правильный?

ЭДС в каждом контуре зависит только от изменяющегося магнитного потока, заключенного в этом контуре .
ЭДС в каждой петле зависит как от изменяющегося магнитного потока, заключенного в этой петле , так и от изменяющегося потока, заключенного в окружающих петлях .

Я сделал пример, чтобы показать два варианта. Рассмотрим схему из двух петель.

В случае А каждый содержит отдельный соленоид, в котором магнитное поле $B$ меняется во времени (и направлено двумя разными путями).

В случае Б только один из контуров охватывает изменяющийся магнитный поток, так как левого соленоида нет.

В случае А согласно 1. ток в левом контуре должен зависеть только от магнитного поля левого соленоида.

А в случае Б полная ЭДС в левом контуре должна быть равна нулю, так как в левом контуре нет изменяющегося магнитного потока, т. е.

{ЭДС}_{л е ф т л о о п} "=" \oint_{л е ф т л о о п} Е_{я н д ты с е д} \cdot д л "=" - \frac{д}{д т} Φ_{закрытый} "=" 0

$\textrm{emf}_{\mathrm{left \, loop}}=\oint_{\mathrm{left \,\, loop}} E_{\mathrm{induced}} \cdot \mathrm dl =-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi_\textrm{enclosed}=0$

Тем не менее в обоих случаях одна ветвь (та, что $R_2$ ) является общим между двумя петлями и там на ЭДС должен влиять и правый соленоид (и быть отличной от нуля в случае $B$ ). Это приводит к противоречию со сказанным выше.

Итак, 1 или 2 правильно?

Ответы (2)

Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

ДжиДжей · Answer 1

Я думаю, что из всех уравнений Максвелла именно закон Фарадея проверяет вас больше всего. Но вы должны помнить, что это всегда, всегда, всегда верно. Все, что вам нужно сделать, это выбрать петлю.

верно. После того, как вы выбрали петлю, забудьте на некоторое время обо всем остальном и сосредоточьтесь только на петле. Вот алгоритм:

Спросите себя, есть ли какой-либо изменяющийся поток через мою петлю? Если есть, то это ваша ЭДС. Если нет, ЭДС равна нулю. Однако обратите внимание, что отсутствие ЭДС в петле не означает отсутствие в ней тока.

Теперь найдите все падения или подъемы потенциала, которым подвергается ток в петле, и приравняйте их сумму к $\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}$ . На этом шаге я считаю, что метод текущей сетки наиболее полезен.

Теперь взгляните только на левую петлю:

я_{1} р_{1} + (я_{1} + я_{2}) р_{2} "=" \frac{д ф_{1}}{д т}

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$

..и затем только в правом цикле:

я_{2} р_{3} + (я_{1} + я_{2}) р_{2} "=" \frac{д ф_{2}}{д т}

$I_2R_3+(I_1+I_2)R_2=\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

если $I_1$ и $I_2$ являются неизвестными, этого достаточно, чтобы решить для них.

Вы можете сделать это и для «супер»-цикла:

я_{1} р_{1} - я_{2} р_{3} "=" \frac{д ф_{1}}{д т} - \frac{д ф_{2}}{д т}

$I_1R_1-I_2R_3=\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}-\frac{\mathrm d\phi_2}{\mathrm dt}$

Все три уравнения дают один и тот же результат.

Относительно 2. ЭДС в контуре не зависит от окружающих ЭДС, а от тока в нем. На изображении Б в левом контуре есть ток, но сумма разностей потенциалов, с которыми сталкивается этот ток, будет равна нулю, потому что ЭДС равна нулю. то есть:

я_{1} р_{1} + (я_{1} + я_{2}) р_{2} "=" 0

$I_1R_1+(I_1+I_2)R_2=0$

Вы также можете переписать два других уравнения и изменить $\frac{\mathrm d\phi_1}{\mathrm dt}$ к $0$ в обоих.

Надеюсь, это помогло!

Большое спасибо за такой ясный и полный ответ! Если позволите, в моем учебнике упражнение, из которого взята картинка, решено способом, немного отличающимся от 1. (поэтому я и спросил). Рассмотрим ситуацию A: в учебнике используется метод тока сетки, и уравнение такое же, как вы предложили, за исключением того факта, что ЭДС, рассматриваемая в каждом контуре, представляет собой (минус) производную по времени от магнитного потока, заключенного в этом контуре, плюс $1/4$ производной по времени от потока в другом контуре , и это оправдывается высказыванием «это из-за общей центральной ветви».
То есть (прозвонка левого соленоида $1$ и правый соленоид $2$ , и учитывая, что магнитное поле $B$ одинакова в обоих соленоидах, но меняется во времени) ${\begin{cases} я_{1} р_{1} + (я_{1} + я_{2}) р_{2} "=" \frac{д Б}{д т} π р_{1}^{2} + \frac{1}{4} \frac{д Б}{д т} π р_{2}^{2} \\ я_{2} р_{2} + (я_{1} + я_{2}) р_{2} "=" \frac{д Б}{д т} π р_{2}^{2} + \frac{1}{4} \frac{д Б}{д т} π р_{1}^{2} \end{cases}$ $\begin{cases} i_1 R_1+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 \\ i_2 R_2+ (i_1+i_2) R_2=\frac{dB}{dt} \pi r_2^2 + \frac{1}{4}\frac{dB}{dt} \pi r_1^2 \end{cases}$ Я не могу объяснить, почему это $1/4$ следует учитывать ЭДС, кроме ЭДС, вызванной замкнутым переменным магнитным потоком. Не могли бы вы дать мне какие-либо предложения по этому поводу?
@Sørën Я не вижу причин, по которым следует принимать во внимание эту дополнительную ЭДС.

Лелуш · Answer 2

это правильная идея. Это потому, что мы имеем из уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

$\nabla \times \vec E$ "=" $\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

Теперь, используя закон Стокса, мы знаем, что для ротора векторной функции $F$ над поверхностью $S$ , имеющий границу $B$ верно следующее:

$\iint_S (\nabla \times \vec F).da$ "=" $\int_B \vec F . dr$

Применяя это к приведенному выше уравнению Максвелла, мы имеем для выбранной области $S$ и его граница $B$ :

$\iint_S (\nabla \times \vec E).da$ "=" $\iint_S (\frac{\partial \vec B}{\partial t}).da$ "=" $\int_B \vec E . dr$ . Средний член обозначает поток (для постоянной площади $S$ как в примере, который вы упомянули выше). Обратите внимание, что поток дает ЭДС индукции только вокруг выбранной границы. $B$ .

Итак, подводя итог, выберите путь цепи и найдите поток только через эту границу. Найти ЭДС, а значит и ток во всех ветвях. Сделайте это для всех возможных контуров в схеме. Примените принцип суперпозиции для каждой ветви и, следовательно, найдите чистый ток через каждую часть цепи.

Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

Сёрен

Ответы (2)

ДжиДжей

Сёрен

Сёрен

ДжиДжей

Лелуш

Трансформаторы: как изменяется ток в первичной обмотке?

Как протекает ток перпендикулярно проводу?

При каком условии заряды не текут в замкнутом контуре?

Ток и напряжение - несовместимость между законом Ома и степенным законом! [дубликат]

Распределение тока вращающегося конуса

Разомкнутые токовые петли в металлическом проводнике

Какая сила перемещает электроны по проводнику, вращающемуся в магнитном поле [закрыто]

Поле внутри провода?

Магнитное воздействие на цепи переменного тока?

Измерение угла при определении магнитного поля бесконечно длинного соленоида