Электрическое поле вне провода со стационарным током

Question

Электрическое поле вне провода со стационарным током

Сёрен

Рассмотрим проводник произвольной конструкции, по которому течет стационарный ток, т.е.

\nabla \cdot \vec{Дж} "=" 0

$\nabla \cdot \vec{j}=0$

Я не нашел в учебнике внятных объяснений двум фактам:

Как именно создается электрическое поле вне проводника? (в частности, нормальный компонент).
Существуют ли плотности заряда на поверхности проводника?

Я знаю, что внутри проводника

\vec{Дж} "=" о \vec{Е}

$\vec{j} = \sigma \vec{E}$

( $\sigma$ проводимость). И что тангенциальная составляющая $E$ всегда сохраняется.

Более того, поскольку нормальная составляющая $\vec{j}$ сохраняется (это следует из $\nabla \cdot \vec{j}=0$ ), и $\sigma_{ext}=0$ у нас есть это

{Дж}_{н, я н т} "=" {Дж}_{н, е Икс т} "=" о_{я н т} Е_{н, я н т} "=" о_{е Икс т} Е_{н, е Икс т} "=" 0

$j_{n,int}=j_{n,ext}=\sigma_{int}E_{n,int}=\sigma_{ext}E_{n,ext}=0$

То есть нормального тока на поверхности нет.

Но что такое $E_{n,ext}$ ? Отсюда я ничего не могу заключить.

Если бы существовала поверхностная плотность зарядов (наз. $\varsigma$ ), то будет

Е_{н, е Икс т} "=" \frac{ς}{ϵ_{0}}

$E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ Но я не уверен в наличии зарядов.

Подводя итог, на мой взгляд, это должно быть

{\begin{cases} Е_{т, е Икс т} "=" Е_{т, я н т} "=" Е_{я н т} "=" \frac{Дж}{о} \\ Е_{н, е Икс т} "=" \frac{ς}{ϵ_{0}} \\ Е_{н, я н т} "=" 0 \end{cases}

$\begin{cases} E_{t,ext}=E_{t,int}=E_{int}=\frac{j}{\sigma} \\ E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0} \\ E_{n,int}=0 \end{cases}$

Это правильно или есть ошибки?

пользователь130529

Я думаю, что ваши утверждения верны, за исключением того факта, что я не думаю, что прыжок

[\vec{j} . n] = 0

$[\vec{j}.n] = 0$ следует из

\nabla \cdot \vec{j} = 0

$\nabla \cdot \vec{j}=0$ (последнее означает только то, что

\int_{\partial Ω} [\vec{j} . n] φ d s = \int_{Ω} (\nabla . \vec{j}) φ + \vec{j} . \nabla φ d x = \int_{Ω} \vec{j} . \nabla φ d x

$\int_{\partial \Omega} [\vec{j}.n] \ \varphi \ ds = \int_{\Omega} (\nabla .\vec{j})\ \varphi + \vec{j}.\nabla \varphi \ dx = \int_{\Omega} \vec{j}.\nabla \varphi \ dx$ для всех тестовых функций

φ

$\varphi$ ). Тем не менее,

{\vec{j}}_{i n t} . n = 0

$\vec{j}_{int}.n= 0$ и

{\vec{j}}_{e x t} = 0

$\vec{j}_{ext}=0$ , так что утверждение верно.

Сёрен

Спасибо за ответ! Итак, электрическое поле вне проводника с текущим током отлично от нуля, оно нормально к проводнику и равно

Е_{н} "=" \frac{ς}{ϵ_{0}}

$E_n=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ ?

пользователь130529

Подробнее см. в моем ответе ниже.

Ответы (2)

Электрическое поле вне провода со стационарным током

Я думаю, что ваши утверждения верны, за исключением того факта, что я не думаю, что прыжок $[\vec{j}.n] = 0$ следует из $\nabla \cdot \vec{j}=0$ (последнее означает только то, что $\int_{\partial \Omega} [\vec{j}.n] \ \varphi \ ds = \int_{\Omega} (\nabla .\vec{j})\ \varphi + \vec{j}.\nabla \varphi \ dx = \int_{\Omega} \vec{j}.\nabla \varphi \ dx$ для всех тестовых функций $\varphi$ ). Тем не менее, $\vec{j}_{int}.n= 0$ и $\vec{j}_{ext}=0$ , так что утверждение верно.
Спасибо за ответ! Итак, электрическое поле вне проводника с текущим током отлично от нуля, оно нормально к проводнику и равно $Е_{н} "=" \frac{ς}{ϵ_{0}}$ $E_n=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}$ ?

пользователь130529 · Answer 1

Вопрос кажется более сложным, чем я сначала догадался, см., например, этот вопрос или тот вопрос . Я предлагаю следующий подход, чтобы оставаться в безопасности.

Предположим, что проводник представляет собой бесконечный цилиндр, ток $\vec{j}$ быть однородным внутри проводника.

Предположим также, что ваше предположение о поверхностной плотности зарядов $\varsigma$ , то есть (внешняя) нормальная составляющая электрического поля определяется выражением

Е_{н, е Икс т} "=" \frac{ς}{ϵ_{0}} .

$E_{n,ext}=\frac{\varsigma}{\epsilon_0}.$ Ему соответствует внешнее электрическое радиальное поле

{\vec{Е}}_{р} (р) "=" \frac{ς а}{ε_{0} р} {\vec{е}}_{р}

$\vec{E}_r(r)=\frac{\varsigma a}{\varepsilon_0 r}\vec{e}_{r}$ где

a

$a$ радиус проводника,

r

$r$ - расстояние до оси проводника и

{\vec{e}}_{r}

$\vec{e}_{r}$ - обычный единичный вектор, перпендикулярный оси проводника.

Затем мы должны добавить компонент $\vec{E}_z(r)$ связано с $\vec{E}_{t,ext} = \frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}$ где $\vec{e}_{z}$ - единичный вектор вдоль оси проводника, который предполагается $z$ ось. Магнитное поле $\vec{B}$ не зависит от времени, поэтому из уравнений Максвелла следует, что $\Delta \vec{E}=0$ вне проводника. Действительно, у нас есть

Δ \vec{Е} "=" \nabla (\nabla . \vec{Е}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{Е}) "=" 0 - \nabla \times \frac{\partial \vec{Б}}{\partial т} "=" 0.

$\Delta \vec{E}=\nabla (\nabla.\vec{E})−\nabla \times (\nabla \times \vec{E})=0−\nabla \times\frac{\partial \vec{B} }{\partial t}=0.$ Как

Δ {\vec{E}}_{r} = 0

$\Delta \vec{E}_r=0$ и

\vec{E} = {\vec{E}}_{r} + {\vec{E}}_{z}

$\vec{E} = \vec{E}_r+\vec{E}_z$ , у нас также есть

Δ {\vec{E}}_{z} = 0

$\Delta \vec{E}_z=0$ . Одно решение просто дается постоянным полем

{\vec{Е}}_{г} (р) "=" \frac{Дж}{о} {\vec{е}}_{г} .

$\vec{E}_z(r)=\frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}.$ Существуют и другие решения, включающие логарифмическую функцию, но они не ограничены, когда

r \to \infty

$r \to \infty$ , поэтому вы можете не захотеть их рассматривать.

Наконец, полное внешнее электрическое поле определяется выражением

\vec{Е} (р) "=" {\vec{Е}}_{р} (р) + {\vec{Е}}_{г} (р) "=" \frac{ς а}{ε_{0} р} {\vec{е}}_{р} + \frac{Дж}{о} {\vec{е}}_{г} .

$\vec{E}(r) = \vec{E}_r(r)+\vec{E}_z(r) = \frac{\varsigma a}{\varepsilon_0 r}\vec{e}_{r}+\frac{j}{\sigma}\vec{e}_{z}.$

Ксинон · Answer 2

Просто мое мнение о том, почему я думаю, что вокруг провода с постоянным током должно быть чистое электрическое поле.

Чтобы в проводе был постоянный ток, в проводе должен быть градиент напряжения (поэтому я бы не предпочел рассматривать бесконечную длину провода с бесконечным сопротивлением).

Представьте себе прямой провод, просто подключенный к двум одинаковым батареям на каждом конце. Ток постоянный, есть градиент напряжения. Напряжение (относительно земли) равно нулю в теоретической точке в середине провода и постепенно увеличивается в значениях - и + к правому и левому концам провода.

Рассмотрим половину провода с отрицательным напряжением.

Градиент напряжения должен быть вызван свободными электронами, сжатыми до плотности большей, чем они имеют в состоянии покоя (что равно плотности заряда положительных ионов/ядер). Эта повышенная плотность обусловлена сопротивлением провода. Вам нужно подтолкнуть электроны, чтобы преодолеть сопротивление, и, подталкивая, вы сжимаете их до более высокой плотности, таким образом, имея больше отрицательных зарядов, чем их состояние покоя, в котором все + и - заряды уравновешиваются до нуля результирующего электрического поля.

Для половины провода с положительным напряжением все то же самое, за исключением того, что вы не сжимаете, а вакуумируете электроны, разрежая их. Градиент напряжения здесь вызван избытком положительных ионов. Плотность увеличивается все больше и больше к концу провода, в конце концов сравнявшись там с напряжением батареи.

Таким образом, на каждой половине имеется избыток отрицательных и положительных зарядов. Это должно вызвать чистое статическое дипольное электрическое поле вокруг провода. И какой ток вырабатывается этим градиентом напряжения? Это зависит от удельного сопротивления и длины провода.

Гидродинамическая аналогия: у вас есть насос с определенным давлением. Будет градиент давления, определяемый только давлением насоса и длиной трубы. Таким образом, у вас будет немного более плотная, сжатая вода, чем в состоянии покоя. Какой поток мы получим, зависит от гидродинамического сопротивления на воде.

Электрическое поле вне провода со стационарным током

Сёрен

пользователь130529

Сёрен

пользователь130529

Ответы (2)

пользователь130529

Ксинон

Распределение тока вращающегося конуса

Трансформаторы: как изменяется ток в первичной обмотке?

Измерение угла при определении магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

Как использовать общее выражение силы между двумя цепями, чтобы найти силу между двумя проводами?

Как протекает ток перпендикулярно проводу?

При каком условии заряды не текут в замкнутом контуре?

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Зачем электричеству нужны провода, чтобы течь?

Имеют ли движущиеся заряженные частицы магнитное и электрическое поля?