Как использовать общее выражение силы между двумя цепями, чтобы найти силу между двумя проводами?

Question

Как использовать общее выражение силы между двумя цепями, чтобы найти силу между двумя проводами?

Сёрен

Общее выражение силы между двумя контурами $1$ и $2$ с токами $i_1$ и $i_2$ и с линейными элементами $\bf{dl_1}$ и $\bf{dl_2}$ (бесконечно малые векторы, указывающие в направлении тока) заключается в следующем. Сила, приложенная $1$ на $2$ является :

\begin{matrix} (1) & Ф_{1, 2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{р_{1, 2}} (д л_{1} \cdot д л_{2})}{р_{1, 2}^{2}} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{r_{1,2}} ( \bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2})}{\mathrm{r^2_{1,2}}} \tag{1}$

Где $\hat{r_{1,2}}$ единичный вектор, идущий от $1$ к $2$ и $r_{1,2}$ — расстояние между двумя точками цепей, рассматриваемых при интегрировании.

Формулу я понимаю, но не понимаю, как с ее помощью найти силу на единицу длины между параллельными бесконечно длинными проводами с током $i_1$ и $i_2$ . Сила, приложенная $1$ на $2$ в таком случае это:

\begin{matrix} (2) & \frac{Ф_{1, 2}}{л} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{2 π р_{1, 2}} \hat{р_{1, 2}} \end{matrix}

$\frac{\bf{F_{1,2}}}{\mathit{l}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi \,\,\mathrm{r_{1,2}}}}\hat{r_{1,2}}\tag{2}$

Легко найти $(2)$ другими способами, но я хотел бы знать, как использовать $(1)$ в данном конкретном случае.

Отсюда вопрос: как пользоваться $(1)$ найти $(2)$ ?

Попытка: здесь $\bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2}= |dl_1|\,\,| dl_2|$ и оба $\bf{\hat{r_{1,2}}}$ и $r_{1,2}$ постоянны, поэтому должно быть просто

\begin{matrix} (3) & Ф_{1, 2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} \frac{\hat{р_{1, 2}}}{р_{1, 2}^{2}} \oint_{1} д л_{1} \oint_{2} д л_{2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} \frac{\hat{р_{1, 2}}}{р_{1, 2}^{2}} л^{2} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \oint_{1} \mathrm{dl_1} \oint_{2} \mathrm{dl_2}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \mathit{l^2} \tag{3}$

Предполагая, что длина провода (аппроксимированная как бесконечно длинная, равна $l$ ). Тем не менее результат в $(3)$ совершенно не похож на $(2)$ и я не вижу, где я не прав.

Ответы (1)

Как использовать общее выражение силы между двумя цепями, чтобы найти силу между двумя проводами?

ничтожество · Answer 1

$r_{1,2}$ это (бегающее) расстояние бесконечно малых линейных элементов $l_1$ и $l_2$ (последнее мы можем интерпретировать как положения на оси, определяемой направлением проводов), поэтому мы не можем вытащить его из интегралов.

Сказать $R$ это расстояние между двумя проводами. От Пифагора мы получаем правило

р_{1, 2}^{2} "=" р^{2} + (л_{2} - л_{1})^{2} .

$r_{1,2}^2 = R^2 + (l_2-l_1)^2.$ Теперь сначала вытащите

{\hat{R}}_{1, 2}

$\mathbf {\hat R_{1,2}}$ как общий единичный вектор, так как мы знаем, что он получится в результате «усреднения» по всем

l_{1}

$l_1$ ,

l_{2}

$l_2$ : (Хотя я не слишком уверен в этом)

Ф_{1, 2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} {\hat{р}}_{1, 2} \int_{1} д л_{1} \int_{2} д л_{2} \frac{1}{р_{1, 2}^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{r_{1,2}^2}$

теперь применим замену $r_{1,2}$ :

Ф_{1, 2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} {\hat{р}}_{1, 2} \int_{1} д л_{1} \int_{2} д л_{2} \frac{1}{р^{2} + (л_{2} - л_{1})^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{R^2 + (l_2-l_1)^2}$

решение $l_2$ интеграл дает нам аркутангенс:

Ф_{1, 2} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 π} {\hat{р}}_{1, 2} \int_{1} д л_{1} (- \frac{1}{р} арктический \frac{л_{1} - л_{2}}{р} |_{л_{2} "=" - \infty}^{+ \infty})

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \left( - \frac{1}{R} \arctan{\frac{l_1-l_2}{R}} \vert_{l_2=-\infty}^{+\infty} \right)$

арктан становится $-\pi$ от $l_2$ оценка пределов; таким образом, результат будет:

\frac{Ф_{1, 2}}{л} "=" \frac{{мю}_{0} я_{1} я_{2}}{4 р} {\hat{р}}_{1, 2}

$\frac{\mathbf F_{1,2}}{l} =\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4R} \mathbf { \hat R_{1,2} }$

Отличается только коэффициентом $2/\pi$ от истинного решения. Так что я думаю, есть только один крошечный вопрос, который мы не рассмотрели. (Например, действительно ли мы уверены, что здесь применимо уравнение замкнутого контура?)

Как использовать общее выражение силы между двумя цепями, чтобы найти силу между двумя проводами?

Сёрен

Ответы (1)

ничтожество

Измерение угла при определении магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Путаница с законом Ампера [закрыто]

Распределение тока вращающегося конуса

Направление магнитного поля вокруг прямого провода с током

Трансформаторы: как изменяется ток в первичной обмотке?

Магнитное поле в центре вращающейся заряженной сферы

Показ того, что магнитное поле внутри бесконечного цилиндра с током равно нулю

Что такое магнитный поток? Как это связано с законом Фарадея?

Закон Фарадея в цепях с несколькими витками и разными магнитными полями

Как притягиваются параллельные провода, если векторы их сил направлены в одну сторону?