Различия между плотностью вероятности и ожидаемым значением позиции

В позиционном пространстве (то есть, когда ваши функции являются функциями x), функция$\int|\Psi|^2$дает вероятность найти частицу в заданном диапазоне. Ожидаемое значение x — это то место, где вы ожидаете найти частицу. Часто это средневзвешенное значение всех позиций, где плотность вероятности,$|\Psi|^2$, — это весовая функция (это не совсем то, чем она является, но это полезная аналогия). Точно так же вы можете найти математическое ожидание для любой измеримой величины. В этом пространстве разница между ними заключается в том, что математическое ожидание — это число, представляющее ожидаемое среднее положение частицы по многим измерениям, тогда как вероятность — это число, которое дает вам вероятность найти частицу в пределах интегрирования.

Однако вы можете использовать любую другую основу. Например, вы можете выбрать импульс-пространство,$\left|\Psi\right>$является$\Psi(p)$(квантовые физики, пожалуйста, не убивайте меня за оскорбление обозначений). В импульсном пространстве интеграл$\int|\Psi|^2$теперь вероятность того, что частица имеет заданный диапазон импульсов. Однако ожидаемое значение x по-прежнему является средним значением x. В чем, спросите вы, смысл? Ожидаемое значение — это число, которое можно найти в любом базисе, представляющем «усредненное» значение измерения. Вероятность, найденная$\int|\Psi|^2$это вероятность того, что частица будет найдена существующей в пределах указанного диапазона значений для используемого вами базиса.

$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi|^2dx$есть "вероятность #%, что частица будет найдена между$x_1$и$x_2$"

$\left<\Psi\right|x\left|\Psi\right>$"ожидаемое среднее положение частицы по большому количеству выборочных измерений находится в$x$"="

$|\Psi|^2(x)$есть функция "вероятность на единицу длины найти частицу в этом положении равна #%"

Ожидаемая ценность — это понятие, отличное от вероятности. На самом деле, вы можете иметь математическое ожидание энергии, углового момента и т. д. не только для положения.

Ожидаемое значение наблюдаемого для данного состояния$\Psi$это среднее значение большого количества измерений этой наблюдаемой, при условии, что каждое измерение производится в одном и том же состоянии$\Psi$. Например, если у вас есть вероятность 0,5 для измерения энергии$E_o$и вероятность 0,5 для измерения$-E_o$, ожидаемое значение равно$0.5\times E_o + 0.5\times(-E_o) = 0$. Как показывает этот пример, ожидаемое значение не обязательно должно быть одним из «разрешенных» измерений. Это также показывает, что знание вероятностей — это другое понятие, чем знание среднего значения большого количества измерений.

То же самое касается положения. Вы можете знать, какова плотность вероятности в конкретном положении, но вам потребуется выполнить дополнительные вычисления, чтобы выяснить, каким будет среднее значение многих измерений положения.

Позволять$\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$; затем$\int_\Omega \lvert\psi(x)\rvert^2dx$, для нормированной функции$\psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$дает вероятность того, что частица находится в области пространства$\Omega$, но не дает никакой дополнительной информации о своем положении. Если вы хотите получить количественную информацию о последнем (в пределах квантовой неопределенности), вы должны вычислить математическое ожидание$\int_{\mathbb{R}^n} x_j\lvert\psi(x)\rvert^2dx$, для каждого компонента$x_j$.

Ожидаемое значение (положения) представляет собой среднее значение (положение) для частицы (в данном случае оно имеет единицы длины), которое отличается от фактического местоположения частицы (также единиц длины). Например, возьмем электрон на атоме водорода; ожидаемое значение для всех энергетических уровней находится в ядре, даже несмотря на то, что многие из энергетических уровней имеют нулевую вероятность находиться там .

Волновая функция представляет собой распределение возможных значений, и она должна стать безразмерной (технически, единицами части частицы) после того, как мы возведем в квадрат и проинтегрируем ее по отношению к любому базису, на который мы смотрим. В одном измерении он имеет единицы длины$^{-1/2}$.

Как бы важно это ни было, большинство величин, которые мы вычисляем в первую очередь (математическое ожидание, физические пространственные волновые функции и т. д.), обеспечивают простое и интуитивно понятное введение в формализм и практику с использованием различных оснований. Более ценные (легко измеримые) величины могут включать математическое ожидание поляризации, энергии, импульса и различных неопределенностей.

У физиков есть ужасная привычка использовать специальные обозначения, и Джим отлично справляется с объяснением обозначений для различных физических величин и выбора базиса, хотя извиняться перед физиками за злоупотребление обозначениями — это весело.

У меня есть 5 мешков с этикетками от 1 до 5, и я случайным образом бросил в мешки буквы от A до J. Вы выбираете букву случайным образом и выигрываете столько франков, сколько указано на сумке с вашим письмом.

Если я распределил буквы равномерно, то в каждом мешке должно быть по 2 письма, поэтому можно было бы сказать, что ψ(номер мешка) = ψ = sqrt(2).

Но если мы хотим узнать, сколько франков мы ожидаем выиграть в среднем, то мы говорим:

E[франков] = [1 франк x 2 + 2 франка x 2 + ... ]/[2 + 2 + ... ] = 3

ψ — это не ожидаемое вами значение, а распределение по доступным значениям. Таким образом, чтобы найти ожидаемое среднее значение, вы должны сделать средневзвешенное значение, используя значения и вероятности.