Следует ли считать векторы состояния постоянными?

По принципу суперпозиции вектор состояния можно определить как

$$\begin{align} \psi(x) &= c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) + \cdots + c_n \psi_n(x) \\ \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} = c_1\lvert\varepsilon_1\rangle + c_2\lvert\varepsilon_2\rangle + \cdots + c_n\lvert\varepsilon_n\rangle \end{align}$$ где $c_n = \langle \varepsilon_n\lvert \psi\rangle$. Кроме того, вектор состояния может представлять волновую функцию в непрерывном случае, как в случае $$\begin{align} \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}\psi(x\to -\infty) \\ \vdots \\ \psi(x=0) \\ \vdots \\ \psi(x = 0.000\ldots 01) \\ \psi(x = 0.000\ldots 02) \\ \vdots \\ \psi(x\to\infty)\end{pmatrix} \tag{1} \\ &= \psi(x\to -\infty)\lvert x\to -\infty\rangle + \cdots + \psi(x = 0)\lvert x=0\rangle + \cdots \end{align}$$

Мой первый вопрос в последовательности выражений

$$\begin{align} \langle\psi\lvert\psi\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^* \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\lvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle \langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert \hat{\mathbb{1}}\lvert\psi\rangle \end{align}$$ с $\hat{\mathbb{1}} = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert$, почему вектор состояния можно вытащить из интеграла?

У меня есть идея, но я думаю, что она должна быть неправильной:

Как показано в уравнении (1), вектор состояния представляет собой набор значений, каждый элемент которого является значением волновой функции, например$\psi(0)$,$\psi(0.002)$и т. д. Таким образом, его можно рассматривать как константу, поскольку каждый элемент никогда не изменится. Поэтому его можно вытащить из интеграла.

Однако эта идея не может объяснить наблюдаемый случай. Рассмотрим оператор, содержащий компонент импульса, дифференциальный оператор,$\hat{Q}(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})$. Ожидаемое значение этого оператора равно

$$\begin{align} \langle\hat{Q}\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x)\hat{Q}\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^*\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\rvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert\color{blue}{\hat{Q}}\lvert\psi\rangle \tag{2} \\ &= \langle\psi\rvert\hat{\mathbb{1}}\hat{Q}\lvert\psi\rangle \\ &= \langle\psi\rvert\hat{Q}\lvert\psi\rangle \end{align}$$ Если вектор состояния постоянен, он должен давать ноль, когда на него действует оператор импульса, и представление Дирака не работает.

1. Итак, если это не константа, как ее можно вытащить из интеграла?

2. Мой второй вопрос заключается в том, почему в уравнении (2) оператор может$\hat{Q}$пропустить$\langle x\rvert$вектор и действовать на вектор состояния?