Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Question

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Ноумен

Из того, что я сейчас понимаю, учитывая общий вектор состояния $|\psi\rangle$ волновая функция:

ψ (Икс) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩

$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$ представлять вектор

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ в базе собственных значений позиционного оператора. Точно так же волновая функция

ψ (п) "=" ⟨ п | ψ ⟩

$\psi(p)=\langle p|\psi\rangle$ представляют тот же вектор, но в основе импульса. На практике мы можем думать о волновых функциях как о векторах-столбцах с бесконечным числом элементов, по одному на каждое действительное число.

Итак, когда мы пишем $|\psi\rangle$ мы хотим представить абстрактный вектор $|\psi\rangle$ без привязки к конкретной базе? Почему мы это делаем? В дружественной трехмерной линейной алгебре мы почти всегда думаем о векторах в контексте их конкретного представления в некоторой базе. Не проще ли всегда представлять векторы состояний в какой-то определенной базе, например, в виде волновых функций? Я говорю это потому, что использование этого двойного способа представления векторов иногда приводит к путанице; например: в лекциях по КМ часто бывает, что некий оператор описывается как действующий на кет-векторы:

А | ψ ⟩

$A|\psi\rangle$ а затем через некоторое время тот же оператор без каких-либо дополнительных объяснений показан как действующий на функции:

А ψ (Икс)

$A\psi(x)$ Но есть некоторые операции, которые имеют смысл только в том случае, если они применяются к функциям, а не к кет-векторам. Почему мы представляем вещи таким образом? Почему бы нам не использовать представление векторов волновой функцией только в какой-то конкретной базе?

Жанбатист Ру

Волновые функции

ψ (x)

$\psi(x)$ представлять компоненты векторов

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$ . Когда мы используем оператор on, действующий на

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$ , можно использовать тот же оператор, но в другом представлении на

ψ (x)

$\psi(x)$ . Например, оператор импульса

- i ℏ \frac{d}{d x}

$-i \hbar \frac{d}{dx}$ действует на

ψ (x)

$\psi(x)$ , но это специальное представление общего оператора

{\hat{p}}_{x}

$\hat{p}_x$ действующий на

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$ .

Веркассивелаунос

Я не согласен с вашим утверждением, что выбрать представление вектора проще. На самом деле, я стараюсь избегать этого, насколько это возможно. Конкретное представление — это лишняя информация, а лишние вещи в лучшем случае лишние, а в худшем — сбивают с толку.

Даниэль Санк

Я хотел бы ответить на это, но я не хочу тратить на это время, потому что я написал довольно обширный ответ на ваш другой вопрос , который еще не решен. Я предложил разобраться с вашими путаницами в чате и был бы рад улучшить ответ до такой степени, что его можно будет принять. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы заинтересованы в этом.

Даниэль Санк

Однако скажу одно: вся эта проблема не имеет абсолютно никакого отношения к квантовой механике. Весь этот вопрос сводится к тому, работаем ли мы в конкретном базисе или с базисно-независимым представлением векторов. Обозначения, такие как

A ψ (x)

$A \psi(x)$ не согласованы и не должны использоваться. Я напишу более полный ответ, как только мы разберемся с вашим предыдущим вопросом.

Г. Смит

В дружественной трехмерной линейной алгебре мы почти всегда думаем о векторах в контексте их конкретного представления в некоторой базе. Разве вы никогда не писали абстрактно матрицу как

M

$\mathbf{M}$ и вектор как

v

$\mathbf{v}$ ?

Космас Захос

«Но есть некоторые операции, которые имеют смысл только в том случае, если они применяются к функциям, а не к кет-векторам». Например, что? Вы читали стандартный текст Дирака?

Ответы (1)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Волновые функции $\psi(x)$ представлять компоненты векторов $|\psi \rangle$ . Когда мы используем оператор on, действующий на $|\psi \rangle$ , можно использовать тот же оператор, но в другом представлении на $\psi(x)$ . Например, оператор импульса $-i \hbar \frac{d}{dx}$ действует на $\psi(x)$ , но это специальное представление общего оператора $\hat{p}_x$ действующий на $|\psi \rangle$ .
Я не согласен с вашим утверждением, что выбрать представление вектора проще. На самом деле, я стараюсь избегать этого, насколько это возможно. Конкретное представление — это лишняя информация, а лишние вещи в лучшем случае лишние, а в худшем — сбивают с толку.
Я хотел бы ответить на это, но я не хочу тратить на это время, потому что я написал довольно обширный ответ на ваш другой вопрос , который еще не решен. Я предложил разобраться с вашими путаницами в чате и был бы рад улучшить ответ до такой степени, что его можно будет принять. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы заинтересованы в этом.
Однако скажу одно: вся эта проблема не имеет абсолютно никакого отношения к квантовой механике. Весь этот вопрос сводится к тому, работаем ли мы в конкретном базисе или с базисно-независимым представлением векторов. Обозначения, такие как $A \psi(x)$ не согласованы и не должны использоваться. Я напишу более полный ответ, как только мы разберемся с вашим предыдущим вопросом.
В дружественной трехмерной линейной алгебре мы почти всегда думаем о векторах в контексте их конкретного представления в некоторой базе. Разве вы никогда не писали абстрактно матрицу как $\mathbf{M}$ и вектор как $\mathbf{v}$ ?
«Но есть некоторые операции, которые имеют смысл только в том случае, если они применяются к функциям, а не к кет-векторам». Например, что? Вы читали стандартный текст Дирака?

Дж. Мюррей · Answer 1

В лекциях по КМ часто бывает, что некий оператор описывается как действующий на кет-векторы. $A|\psi\rangle$ а затем через некоторое время тот же оператор без каких-либо дополнительных объяснений показан как действующий на функции $A\psi(x)$ .

Это неправильно. Возможно, вы где-то это видели, но автор был небрежен или злоупотреблял обозначениями.

Позволять $|\psi\rangle$ быть абстрактным кет-вектором. Если мы хотим представить его в непрерывном позиционном базисе, мы можем вставить тождественный оператор $\mathbb 1=\int|x\rangle\langle x| dx$ и получить

| ψ ⟩ "=" \int | Икс ⟩ ⟨ Икс | ψ ⟩ г Икс "=" \int | Икс ⟩ ψ (Икс) г Икс

$|\psi\rangle = \int|x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int |x\rangle \psi(x) dx$ Грубо говоря,

ψ (x)

$\psi(x)$ является компонентом

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ вдоль базисного вектора

| x ⟩

$|x\rangle$ . Если вы хотите думать о чем-то как о бесконечно длинном векторе-столбце, то это должно быть

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ , нет

ψ (x)

$\psi(x)$ (это просто комплексное число).

Точно так же, если $A$ является абстрактным оператором, то мы можем позволить ему действовать на абстрактных кетах $|\psi\rangle$ как $A|\psi\rangle$ . Расширение $|\psi\rangle$ в позиционном базисе находим

А | ψ ⟩ "=" \int А | Икс ⟩ ψ (Икс) г Икс

$A|\psi \rangle = \int A|x\rangle \psi(x) dx$

$A$ по-прежнему является абстрактным оператором, действующим на кет (в данном случае $|x\rangle$ ), а не функция. Если мы вставим другой оператор тождества $\int |y\rangle\langle y| dy$ , мы нашли

А | ψ ⟩ "=" \iint | у ⟩ ⟨ у | А | Икс ⟩ ψ (Икс) г у г Икс

$A|\psi\rangle = \iint |y\rangle\langle y|A|x\rangle \psi(x) dy \ dx$

Объект $\langle y|A|x\rangle \equiv A_{yx}$ это $yx$ компонент абстрактного оператора $A$ . Этот объект воздействует на функции. Результат в том, что

А | ψ ⟩ "=" \iint | у ⟩ А_{у Икс} ψ (Икс) г у г Икс

$A|\psi\rangle = \iint |y\rangle A_{yx} \psi(x) dy\ dx$

Например, оператор положения $Q$ имеет компоненты $Q_{yx} \equiv \langle y|Q|x\rangle = \delta(y-x) \cdot x$ а оператор импульса имеет компоненты $P_{yx} \equiv \langle y |P|x\rangle = -i\hbar \delta(y-x) \frac{d}{dx}$ . Поэтому у нас было бы

Вопрос | ψ ⟩ "=" \int | Икс ⟩ Икс \cdot ψ (Икс) г Икс

$Q|\psi\rangle = \int |x\rangle x\cdot \psi(x) dx$

п | ψ ⟩ "=" \int | Икс ⟩ (- я ℏ) ψ^{'} (Икс) г Икс

$P|\psi\rangle = \int |x\rangle (-i\hbar)\psi'(x) dx$

Если быть очень строгим, мы бы сказали, что оператор положения $Q$ ест кет с волновой функцией позиционного пространства $\psi(x)$ и выдает кет с волновой функцией позиционного пространства $x\psi(x)$ . Однако мы часто немного расслабляемся и говорим, что $Q$ съедает волновую функцию $\psi(x)$ и выплевывает $x\psi(x)$ .

Причина, по которой мы используем кеты, в первую очередь заключается в том, что может быть очень удобно не ограничивать себя какой-то конкретной основой. Мне очень трудно поверить, что вы никогда не использовали векторную запись $\vec r$ в отличие от обозначения индекса $r_i$ , а это точно одно и то же. Разница лишь в том, что индекс $i$ в $r_i$ переезжает $\{1,2,3\}$ , а индекс $x$ в $\psi(x)$ переезжает $\mathbb R$ .

Я думаю, что ваш ответ может создать много путаницы. Не поймите меня неправильно, я думаю, что ваш ответ полностью правильный, но у меня с ним проблема. $\phi(x)$ это число, если $x$ фиксировано, однако мы часто интерпретируем $\phi(x)$ не как число, а как функция, функции действительно образуют комплексное векторное пространство и могут рассматриваться как вектор с бесконечными элементами. Все, что вы отвечаете, основано на представлении о том, что $\phi(x)$ это число в моем вопросе, но я хотел сказать $\phi(x)$ как функция. Я думаю, что это было бы лучше использовать вместо $|\phi\rangle$ . Вы понимаете мою точку зрения? Если нет, дайте мне знать.
@Noumeno Я думаю, ты неправильно понял мой ответ. Вы можете работать исключительно в позиционном представлении, если хотите, но если вы хотите использовать нотацию в скобках, то вам нужно понимать, что есть разница между абстрактным оператором (действующим на абстрактных кетах) и позиционным пространством. представление оператора (действующего на волновые функции).
Да, я это понял и думаю, что вы совершенно правы. Но я также думаю, что мы можем думать о функции как о сложных векторах в бесконечном измерении, в своем ответе вы, кажется, подразумеваете, что мы можем думать так только о кет-векторах, также я нахожу, что $f(x)$ это не число, как вы утверждаете, потому что оно может быть числом, если $x$ фиксировано, но может также представлять функцию, если $x$ не фиксируется. Итак, в вашем ответе есть некоторые проблемные части, вы согласны или я что-то упускаю из виду? Но основной посыл ответа, на мой взгляд, конечно, правильный.
@Noumeno Либо вы работаете в нотации бюстгальтера, либо нет. Если вы, то $\phi(x)$ следует рассматривать как компонент вашего вектора вдоль базисного вектора $|x\rangle$ . Если вы не работаете в нотации скобок, то вектор — это функция $\phi$ . Мне кажется, что вы пытаетесь смешать оба соглашения, что не очень хорошая идея.
Я пытаюсь доказать, что вторая конвенция лучше, во всяком случае, я понимаю вашу точку зрения.
@Noumeno Если вы пытаетесь быть математически строгим, я также считаю предпочтительнее второе соглашение. Однако на стандартном для физиков уровне строгости мне трудно утверждать, что запись в скобках ненамного удобнее, особенно при работе с такими вещами, как теория возмущений.

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Ноумен

Жанбатист Ру

Веркассивелаунос

Даниэль Санк

Даниэль Санк

Г. Смит

Космас Захос

Ответы (1)

Дж. Мюррей

Ноумен

Дж. Мюррей

Ноумен

Дж. Мюррей

Ноумен

Дж. Мюррей

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Что значит применить оператор к состоянию?

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Уравнение Шрёдингера в позиционном представлении

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Следует ли считать векторы состояния постоянными?

Вопрос о «пустом кете» и обозначениях Дирака.

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]