Есть ли какой-нибудь оператор за вероятностью в квантовой механике?

Теория квантовой механики была разработана для объяснения наблюдений, т.е. измерений. Без наблюдений это плавающая математическая конструкция.

Один из постулатов, связывающих математику с реальностью, звучит так:

Каждой наблюдаемой соответствует оператор, работа которого с функцией состояния даст собственное значение. Таким образом, возникает вопрос: является ли вероятность наблюдаемой? и тогда это становится: что является наблюдаемым.

Наблюдаемая в рамках квантовой механики — это переменная рассматриваемой системы, которую можно оценить с помощью измерения. Энергия одного фотона. Импульс протона. Спин электрона. Мы всегда можем измерить эти переменные на отдельных частицах одним наблюдением, измерением. Это невозможно с вероятностью. Это возникающее значение из большого числа измерений с одинаковыми граничными условиями: это нормализованное распределение, изменяющееся от 0 до 1, разброса значений, найденных в измерениях.

Так что нет, не существует квантово-механического оператора для вероятности, поскольку это не наблюдаемая переменная, входящая в квантово-механическую задачу, а возникающая величина из множества измерений.

Ответ отрицательный по двум причинам.

(1) В КМ оператор означает линейный оператор и отображение$\psi \mapsto |\psi(x)|^2$нелинейно, очевидно.

(2) Волновые функции являются элементами$L^2(\mathbb R)$и эти элементы определены с точностью до множеств нулевой меры. Я имею в виду, что если$\psi(x) \neq \psi'(x)$для$x\in E$где$E$имеет нулевую меру, то$\psi=\psi'$как элементы$L^2(\mathbb R)$, т.е. (если$\int |\psi(x)|^2 dx =1$) чистые квантовые состояния . В частности, каждое множество вида$\{x_0\}$всегда имеет нулевую меру. Поэтому для любого фиксированного$x_0$, карта

$$L^2(\mathbb R) \ni \psi \mapsto |\psi(x_0)|^2$$ не имеет смысла . Она вообще не определена, как карта, связывающая состояния (если $\int |\psi(x)|^2 dx =1$) с цифрами.

Если перейти к формализму оператора плотности, ситуация изменится. Операторы плотности$\rho$являются положительными ядерными операторами со следовой нормой$\mathrm{tr}\rho =1$. Они описывают не только чистые состояния, но и смешанные и удовлетворяют уравнению Лиувилля-фон Неймана

$$\begin{equation*} \partial _{t}\rho (t)=-i[H,\rho (t)]:=-iL\rho (t), \end{equation*}$$ где $H$является гамильтонианом системы и $[.,.]$коммутатор. Правая часть определяет оператор Лиувилля $L$действующие на элементы трассового класса. Если в вашем случае $\psi (x)\in \mathcal{H}$интегрируема с квадратом с единичной нормой, то $$\begin{equation*} \rho =|\psi ><\psi |, \end{equation*}$$ и вероятность найти частицу с координатой в $\mathcal{% M\subset H}$является $$\begin{equation*} E_{\mathcal{M}}=\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}}\rho =\mathrm{tr}P_{\mathcal{M}% }|\psi ><\psi |=\int_{\mathcal{M}}dx|\psi (x)|^{2} \end{equation*}$$ Здесь $P_{\mathcal{M}}$проектор, определяемый характеристической функцией $\chi _{\mathcal{M}}(x)$, $\chi _{\mathcal{M}}(x)=1$для $x\in \mathcal{M}$и 0 в противном случае. Таким образом $P_{\mathcal{M}}$— оператор, связанный с вероятностью в координатном пространстве. Точно так же пусть $\mathcal{N}$быть множеством в импульсном пространстве и $Q_{\mathcal{N}}$быть проектором определить $\chi _{\mathcal{N}}(p)$. Затем $$\begin{equation*} F_{\mathcal{N}}=\mathrm{tr}Q_{\mathcal{N}}\rho =\int_{\mathcal{N}}dp|\tilde{% \psi}(p)|^{2}, \end{equation*}$$ где $\tilde{\psi}(p)$является преобразованием Фурье $\psi (x)$, – вероятность найти частицу с импульсом в $\mathcal{N}$.

В более абстрактных подходах, таких как C$^{\ast }$В формализме -алгебры состояния определяются как положительные линейные функционалы над множеством наблюдаемых. К этому классу относятся операторы плотности, но есть и более общие.

«Вероятность» сама по себе является очень расплывчатой ​​концепцией и сама по себе не имеет особого смысла. Однако, если вы прикрепите утверждение, например, «вероятность того, что X произойдет», вы можете назначить для него оператор.

Позвольте мне начать с простого примера, одной частицы в одном измерении, где вам нужна вероятность ее координаты$x$быть между$a$и$b$. Как вы знаете, это можно записать как

$$P(x\in[a,b])=\int_a^b|\psi(x)|^2\text dx.$$ Чтобы привести это к операторному формализму, вы выражаете волновую функцию как скобку между состоянием $|\psi⟩$и собственное состояние положения $|x⟩$, получить $$P(x\in[a,b])=\int_a^b⟨\psi|x⟩⟨x|\psi⟩\text dx.$$ Наконец, вы можете «вынести» $\psi$, чтобы получить матричный элемент оператора: $$P(x\in[a,b])=⟨\psi|\left(\int_a^b|x⟩⟨x|\text dx\right)|\psi⟩=⟨\psi|\hat\Pi_{[a,b]}|\psi⟩.$$

Оператор$\hat\Pi_{[a,b]}$называется спектральным проектором позиционного оператора$\hat x$для набора$[a,b]\in \mathbb R$. Он обладает тем свойством, что его ожидаемое значение в состоянии$|\psi⟩$это вероятность$x$находясь в$[a,b]$в этом состоянии.

Это распространяется на любую хорошо ведущую себя наблюдаемую$\hat Q$и любой измеримый набор действительных чисел$A$. На самом деле «диагонализуемость» самосопряженных операторов (включая положение и импульс!) формулируется, если строго выводится в терминах спектральной теоремы, именно в этих терминах. Если$\hat Q$является самосопряженным (что включает в себя эрмитичность, как мы ее знаем, но также и некоторые дополнительные ограничения на домены операторов), вам не гарантируются собственные состояния, а скорее спектральная мера . это функция$\Pi$который принимает наборы действительных чисел$A$и возвращает соответствующие спектральные проекторы$\Pi(A)$, которые обладают тем свойством, что их ожидаемые значения являются вероятностью того, что$q$в$A$:

$$P(q\in A)=⟨\psi|\hat\Pi(A)|\psi⟩.$$

Если$\hat Q$имеет собственные состояния, то спектральные проекторы представляют собой сумму или интеграл отдельных проекторов собственных состояний$|q⟩⟨q|$над$q$в$A$. Если$Q$имеет непрерывный спектр, фактически отдельные проекторы$|q⟩⟨q|$сами по себе не имеют большого смысла и должны быть интегрированы, чтобы давать физические прогнозы.

Это совпадает с тем, о чем уже упоминал В. Моретти. Плотность вероятности ,

$$|\psi(x)|^2=⟨\psi|\left(|x⟩⟨x|\right)|\psi⟩,$$ не особенно четко определен, потому что $\psi$может изменить свое значение в отдельных точках, не влияя на состояние. Это нормально, потому что плотности вероятности интегрируются для получения физических результатов, и эти точечные изменения не влияют на общий интеграл.

Однако, как видно из ее вида, плотность вероятности также является, по крайней мере формально, математическим ожиданием оператора, которое в данном случае равно

$$|x⟩⟨x|.$$ Из-за вышеупомянутых проблем этот оператор на самом деле не так хорошо определен, и вам нужно быть очень осторожным с вашими состояниями (и, в частности, ограничиться некоторыми частями формализма оснащенного гильбертова пространства), чтобы это сделало смысл. Вы можете получить немного более жесткое определение как $$|x⟩⟨x|=\frac{d}{dx}\hat \Pi_{(-\infty,x]},$$ за исключением того, что теперь вам нужно беспокоиться о том, что значит различать в пространстве оператора. Вывод из этого состоит в том, что формальные манипуляции, если они выполняются правильно, действительно работают, но если вы хотите сделать их строгими, то они очень быстро становятся очень грязными. Итак: используйте свою физическую интуицию для того, какие величины имеют смысл, а какие нет, следуйте правилам манипулирования, и вы будете в безопасности.

Нет. Эти канцерогенные вероятности появляются из-за вероятностной интерпретации, которая также привносит всевозможные знаменитые парадоксы, заражающие КМ. Сам по себе формализм теории требует только решения дифференциального уравнения второго порядка для вычисления$\psi(x,t)$- процесс, который является полностью детерминированным, как решение чего-то, вытекающего из второго закона Ньютона. (Я говорю здесь о решении уравнения Шредингера, матричная механика Гейзенберга дает идентичные ответы.)

Формализм теории и эта интерпретация — абсолютно независимые вопросы. Можно иметь другую интерпретацию (например, Many-Worlds , помимо других, которые вы можете найти упомянутыми в ссылке), привязанную к тому же формализму, что даст нам другой способ понять эти ответы. Но сам по себе в формализме КМ нет ничего, что требовало бы вероятностей.

Итак, ваш ответ - нет. Вероятность не является результатом действия какого-либо оператора на$\psi$.