Разложение преобразования Лоренца в трехмерном пространстве-времени

В четырехмерном пространстве-времени произвольный элемент$\Lambda\in\text{SO}(3,1)^{\uparrow}$группы Лоренца можно разложить следующим образом:

$$\Lambda=\tilde{R}\Lambda_x(\psi)R$$ где $\tilde{R},R$являются пространственные вращения и $\Lambda_x(\psi)$является усилением Лоренца в плоскости xt.

Является ли аналогичное разложение в трехмерном пространстве-времени

$$\Lambda=\Lambda_x(\psi)R\text{ ?}$$ Я не думаю, что это может быть правдой, поскольку это означало бы, что любое трехмерное преобразование Лоренца может быть описано двумя непрерывными параметрами, но группа Ли $\text{SO}(2,1)^{\uparrow}$имеет размерность 3. С другой стороны, я почти доказал, что приведенное выше тождество выполняется из полярного разложения реальных матриц 2x2 $N=OP$где $N\in\text{ SL}(2,\mathbb{R})$это двойная обложка $\text{SO}(2,1)^{\uparrow}$, $O$является ортогональной матрицей 2x2 и $P$является положительно определенной симметричной матрицей 2x2.

Часть, которую мне не хватает в этом доказательстве, заключается в том, что преобразование Лоренца симметрично тогда и только тогда, когда оно является чисто лоренцевым бустом. Я читал, что это правда, но не знаю, как это доказать.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Размышляя над ответом ZeroTheHero, я понимаю, что то, что я доказывал, используя теорему о полярном разложении, было более общим разложением

$$\Lambda=\text{R}(\alpha)\Lambda_{\hat{n}}(\psi)$$ дано в его ответе. Так что здесь нет противоречия, у него три непрерывных параметра, как и у его группы Ли.