Сомнение в книге Вайнберга по квантовой теории поля

Вы правы в том, что некомпактные группы не должны иметь конечномерных унитарных представлений. Но генераторы$J^{\rho\sigma}$и$P^\rho$не действуют здесь на конечномерном векторном пространстве. Используя обозначения Вайнберга, они действуют на состояния.$|p,\sigma, n, \ldots\rangle$и, в частности,$p$не принимает значений в ограниченном множестве, энергии сколь угодно велики (действительно$J^{\rho\sigma}$можно повысить). Эквивалентно вы можете думать об этих операторах в дифференциальной форме$P^\rho = -\mathrm{i}\partial^\rho$и$J^{\rho\sigma} = -\mathrm{i}(x^\rho \partial^\sigma - x^\sigma\partial^\rho)$. В любом случае они будут действовать$C^\infty$функции, живущие в бесконечномерном векторном пространстве.

Ваша точка зрения может быть поднята позже, когда он будет обсуждать безмассовые представления. На самом деле маленькая группа для безмассового представления$\mathrm{ISO}(2)$(как Пуанкаре, но в двух измерениях). Поскольку он не компактен, мы ожидаем, что унитарные представления будут бесконечномерными, однако это не так: фотон и гравитон имеют две спиральности! Это правильно, потому что такие представления упрощают действие генераторов перевода в$\mathrm{ISO}(2)$(которые, кстати, не имеют ничего общего с реальными четырехмерными трансляциями), тем самым фактически сводя его к$\mathrm{SO}(2)$. Существует также возможность сохранения таких двумерных трансляций, и, конечно же, мы получаем бесконечномерные представления, которые называются непрерывными спиновыми представлениями.