Когда гамильтониан равен энергии системы?

Есть некоторые технические условия (по типу ограничений в вашей системе), но функционально$H$это полная энергия, когда$\sum_i \dot q_i p_i$является$2\times$кинетическая энергия. Тогда ясно

$$H=\sum_i \dot q_i p_i-L=2T-(T-U)=T+U\, .$$

Если это не так,$H$может быть сохранен, но это просто не$E$. Это происходит в самых разных системах, таких как регулятор флайбола, и в системах, в которых какой-то внешний агент поддерживает постоянную скорость вращения (например, шарики на вращающихся проводах различной формы). постоянный$H$, но обычно эта сохраняющаяся величина не имеет физической интерпретации.

Простейшие случаи, когда$H$ есть энергия естественных систем, у которых кинетическая энергия квадратична по скоростям

$$T=\sum_{ij} m_{ij}\dot q_i\dot q_j$$ и нет явной временной зависимости от $t$в лагранжиане.