Предположим, я хочу решить нелинейное уравнение Шредингера, используя мнимое распространение во времени, чтобы получить решение для основного состояния. я выбираю , а затем решить уравнение, используя метод Crank-Nicholson с расщепленным шагом . Все возбужденные состояния будут распадаться быстрее, чем основное состояние, и в конечном итоге останется только основное состояние.
Предположим, я хотел бы проверить, является ли полученное решение устойчивым или нет. С этой целью я бы добавил к полученным решениям небольшое возмущение и развил его. Если решение устойчиво, оно должно вернуться к своему невозмущенному состоянию, если нет, оно будет расходиться.
Мой вопрос в том, можно ли сделать вторую часть, используя мнимое распространение времени? Может ли кто-нибудь сказать мне, где использовать и где не использовать распространение в реальном и мнимом времени соответственно?
Вы почти сами себе на него ответили. Если вы действительно заинтересованы в получении стабильного решения с мнимым временем для основного состояния, вы не должны его немного беспокоить. Вместо этого вы можете начать с совершенно другой исходной волновой функции, чем та, с которой вы начали.
По сути, для нахождения основного состояния используется мнимое время, как это делаете вы. Распространение в реальном времени предназначено для изучения динамики. Вы можете протестировать решение с начальным состоянием, распространив его в реальном времени и проверив, что оно не меняется. Вы можете попробовать небольшой тест возмущения, и вы должны вернуться к правильному решению (хотя я не знаю, что это вам на самом деле говорит).
Обратите внимание, что я сделал это только в контексте конденсации Бозе-Эйнштейна, поэтому могут быть другие факторы, которые следует учитывать, если вы изучаете что-то другое, хотя я не могу придумать ни одного. Если у вас есть «хороший» потенциал (нет числовых особенностей) и разумный нелинейный член (вы не выходите за пределы своего решателя с огромными или очень маленькими числами), у вас не должно быть никаких проблем.
Согласитесь, если вы используете метод эволюции воображаемого времени (ITEM), это даст вам основное состояние для данной частоты. Что касается стабильности, ITEM сходится только к линейно устойчивым решениям, поэтому, если вы получаете основное состояние от ITEM, оно линейно стабильно. См., например, статью об ускоренной эволюции времени Цзяньке Янга.