Почему мы используем эволюцию воображаемого времени при моделировании некоторой квантовой системы?

Давайте начнем с обычной эволюции времени в квантовой механике, чтобы установить сцену. Он регулируется уравнением Шредингера (ограничив обсуждение одномерным пространством для простоты, тривиально распространить аргумент на более высокие измерения):

$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(x,t)$$ Когда гамильтониан не зависит от времени (т. е. когда потенциал не зависит от времени), то можно прямо решить приведенное выше уравнение, чтобы найти временную зависимость$\psi(x,t)$. Что вам нужно сделать, так это сначала решить уравнение на собственные значения для гамильтониана: $$\hat{H}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x),$$ где$\psi_n(x)$являются собственными состояниями и$E_n$собственные значения энергии. Во-вторых, вам нужно расширить волновую функцию в начальный момент времени (скажем,$t=0$) в терминах энергетических собственных состояний: $$\psi(x,0)=\sum_nc_n(0)\psi_n(x),$$ где$c_n(0)$— коэффициенты разложения, которые можно найти, рассчитав перекрытие между$\psi(x,0)$и собственные состояния базиса энергии. В-третьих, волновая функция в более позднее время$t$дан кем-то: $$\psi(x,t)=\sum_nc_n(0)e^{-iE_nt\hbar}\psi_n(x).$$ Зависимость от времени такова, что каждое собственное состояние энергии$\psi_n(x)$«осциллирует» с частотой, пропорциональной соответствующему собственному значению энергии$E_n/\hbar$.

Далее, возвращаясь к вашему вопросу, рассмотрим замену переменных$\tau=it$. Вы можете думать о$\tau$как «воображаемое время». Применяя эту замену переменных к уравнению Шредингера, мы получаем:

$$-\hbar\frac{\partial\psi(x,\tau)}{\partial\tau}=\hat{H}\psi(x,\tau).$$ Опять же, как$\hat{H}$не зависит от времени, зависимость от$\tau$можно решить так же, как зависимость от$t$было решено выше, и мы получаем: $$\psi(x,\tau)=\sum_nc_n(0)e^{-E_n\tau/\hbar}\psi_n(x).$$ Теперь вы можете видеть, что функция$\psi(x,\tau)$в воображаемое время$\tau$больше не получается «осциллирующей» суперпозицией собственных состояний энергии, а вместо этого «экспоненциально затухающей» суперпозицией собственных состояний энергии. Кроме того, экспоненциальная скорость затухания пропорциональна$E_n/\hbar$.

Чего мы достигли, изменив эту переменную с$t$к$\tau$? Учитывайте предел больших$\tau$:

$$\psi(x,\tau\gg1)\simeq c_0(0)e^{-E_0\tau}\psi_0(x).$$ В этом пределе основное состояние$n=0$«проецируется» из начального состояния, потому что соответствующий экспоненциальный спад является самым медленным. Следовательно, эволюционируя систему в «мнимом времени», мы можем получить основное состояние гамильтониана$\psi_0(x)$как длинный воображаемый предел времени.

Всегда ли это будет работать? Это будет работать только в том случае, если при расширении начального состояния с точки зрения собственных энергетических состояний есть некоторый вклад основного состояния. В противном случае долгая эволюция воображаемого времени вместо этого приведет к состоянию с самой низкой энергией, присутствующему в начальном расширении.

Область, в которой используется эволюция мнимого времени, — это один из наиболее точных вычислительных методов для решения уравнения Шредингера для твердых тел, диффузионный квантовый Монте-Карло . В этом методе уравнение Шредингера для мнимого времени решается стохастически как уравнение диффузии, и основное состояние системы проецируется.