Фитильное вращение пропагатора в квантовой механике

Мне говорят, что замена$t\to-i\tau$, или «вращение фитиля», можно использовать для изучения пропагатора в мнимом времени, что упрощает некоторые задачи. Например, этот источник предлагает нам взять обычный пропагатор и выполнить такую ​​замену:

$$\bar{U}(x_1,0;x_2,\tau)=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt'\left(\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt'}\right)^2-V(x)\right)\right)|_{t\to -i\tau;dt\to-id\tau}$$ что, по-видимому, приводит к: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^\tau d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ Я не понимаю, как работает эта замена — возможно, я делаю глупую математическую ошибку. Взяв первую строку и подставив подынтегральную функцию как$dt\to -id\tau$, я ввожу множитель$-i$в показатель степени, который умножается на существующий множитель$i$чтобы получить 1. Используя цепное правило, я получаю коэффициент$1/(-i)^2=-1$на члене кинетической энергии, меняя его знак. И, поскольку я позволяю$t\to-i\tau$, я также изменяю верхний предел интеграла для действия, что дает мне в целом: $$=\int_{x_1}^{x_2}D[x]\exp\left(\frac{1}{\hbar}\int_0^{-i\tau} d\tau'\left(-\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{d\tau'}\right)^2-V(x)\right)\right)$$ Это почти правильный результат, но у меня коэффициент$-i$на верхний предел интеграла действия, который, как мне кажется, следует ввести заменой$t\to-i\tau$- но правильный результат не имеет этого. Это как-то эквивалентно, или я сделал ошибку? Почему изменение переменной не повлияло бы на верхний предел интеграла?