Метрическая подпись Минковского

как вы написали, инвариант пространства-времени может быть выражен как:

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$ и из этого мы обычно получаем: $$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ Это происходит не из-за какой-то произвольной мнимой единицы времени, а из-за того, что метрика ( $g_{\mu\nu}$) представляет собой диагональную матрицу с коэффициентами каждого члена $ds^2$уравнение: $$g_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{l}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)$$ и координаты перечислены, как вы предполагаете: $$dx^{\mu}=\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)$$ Затем следует отметить, что $$g_{\mu\nu}dx^{\mu}=dx_{\nu}=\left(\begin{array}{l}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)=\left(-cdt~~dx~~dy~~dz\right)$$ Также, $v_{\mu}v^{\mu}$является внутренним продуктом, что означает: $$dx_{\nu}dx^{\nu}=\left(-cdt~~dx~~dy~~dz\right)\left(\begin{array}{l}cdt\\dx\\dy\\dz\end{array}\right)=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$ Это уравнение, которое вам нужно, без пропусков воображаемых единиц. Причина $-1$в $g_{\mu\nu}$состоит в том, что он делает систему Лоренц-инвариантной; он поддерживает $ds^2$как пространственно-временная инвариантная величина.

Позвольте мне быть историческим. В евклидовых трехмерных координатах вы найдете интервал между позициями как

$$\Delta d_{Eucl}^2=(X_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2+(Z_2-Z_1)^2$$ При включении теории относительности и времени интервал становится пространственно-временной величиной. Поскольку относительность устанавливает максимальную скорость информации как $c$, делаем интервал $$\Delta s^2=\Delta d_{Eucl}^2-c^2(t_2-t_1)^2$$ Это представляет собой исходный интервал — расстояние между двумя событиями — за вычетом максимального расстояния, которое информация может пройти за время между двумя событиями. Это различие позволяет нам определить, произошли ли события в определенном хронологическом порядке ( $\Delta s^2<0$) или если они произошли в двух совершенно разных позициях ( $\Delta s^2>0$), поскольку в теории относительности мы не всегда можем быть уверены. Именно от этого $-1$в метрике берет свое начало. Пространственные и временные координаты здесь обозначены противоположными знаками. Мы сохраняем метрику с точки зрения $s^2$потому что мы просто не можем быть уверены, $s$является положительным или отрицательным. Не было исходной мнимой временной координаты, это была просто чья-то плохая интерпретация, и она (к счастью) по большей части отброшена.

Вероятно, я должен также указать, что мнимая временная координата также не может исходить из евклидовой четырехмерности. Если пренебречь относительностью, то максимальной скорости не существует. Если нет максимальной скорости, нет естественного способа приравнять пространственные и временные координаты. Поэтому было бы не только неправильно использовать$c$в$ict$координаты, также не имеет смысла прибавлять время к пространству, потому что между ними не будет приятного преобразования. Однако, если вы не игнорируете теорию относительности, вы должны вычесть временной член из трехмерного интервала, чтобы соответствовать понятию максимальной скорости. Итак, евклидова подпись,$(1,1,1,1)$нельзя использовать для описания 4-D пространства-времени! Таким образом, вы никогда не определяете временную координату как воображаемую.

Если вы определите$x^0=ict$, то я предполагаю, что$x_\mu=x^\mu$так что метрика на самом деле$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,1,1,1)=\delta_{\mu\nu}$, то есть вы имеете дело с евклидовой метрикой. затем

$$ds^2=\delta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$ дает обычный результат: $$ds^2=-c^2dt^2+d\vec{x}^2$$ Обычные соглашения таковы:

Вариант первый: один определяет$x^\mu=(ct,\vec{x})$а также$x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu=(-ct,\vec{x})$куда$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(-1,1,1,1)$. Это приводит к

$$ds^2=-c^2dt^2+\vec{x}^2$$ Это соглашение обычно используется в трактовках, которые сосредоточены на (общей) теории относительности и/или структуре пространства-времени.

Второй вариант: один определяет$x^\mu=(ct,\vec{x})$а также$x_\mu=\eta_{\mu\nu}x^\nu=(ct,-\vec{x})$. куда$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)$. Это приводит к

$$d\tilde{s}^2=-ds^2=c^2dt^2-\vec{x}^2$$ Этот подход обычно используется, когда основное внимание уделяется результатам физики элементарных частиц. Моя личная теория состоит в том, что это происходит потому, что это приводит к уравнению $p_\mu p^\mu=m^2$(в отличие от $p_\mu p^\mu=-m^2$), которое является одним из основных уравнений в физике элементарных частиц и, возможно, выглядит несколько более привлекательным, чем альтернативное. Как было указано в комментарии, это также делает времяподобные интервалы положительными, что может быть предпочтительнее при работе с частицами (которые, конечно, всегда движутся по времениподобным или световым траекториям).

Конечно, эти два подхода полностью эквивалентны друг другу. Соглашение с мнимой координатой времени немного вышло из употребления. Я понимаю, почему это могло произойти: это не очень полезное соглашение для интуиции, и, похоже, оно не очень хорошо переносится в общую теорию относительности.

В общем, выражение для метрики и выражение для координат должны работать вместе, чтобы дать вам правильный линейный элемент. Таким образом, все следующие комбинации имеют один и тот же элемент строки$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$:

$g_{\mu\nu}=diag(1,1,1,1)$с$x^{\mu}=(ict,x,y,z)$

или же

$g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$с$x^{\mu}=(ct,x,y,z)$

или же

$g_{\mu\nu}=diag(-c^2,1,1,1)$с$x^{\mu}=(t,x,y,z)$

Основная причина отказа от обозначения «ИКТ» и использования одного из двух последних заключается в том, что мы в конечном итоге хотим выйти за рамки специальной теории относительности и заняться общей теорией относительности. Лучше всего это сделать с помощью (псевдо) римановой геометрии, а риманова геометрия требует вещественных координат. Кроме того, при использовании римановой геометрии вам даже не гарантируется наличие временной координаты, поэтому вы не можете легко быть уверенным, где поставить «i».

Единственная реальная причина представить$ict$координаты, чтобы подчеркнуть сходство (я думаю, в дидактических целях) между преобразованием Лоренца и ортогональными вращениями в более привычном евклидовом пространстве.

Обратите внимание, что псевдоевклидово пространство Минковского приобретает точно «нормальную» евклидову форму, если вводится комплексное время, а именно: метрическая сигнатура становится$++++$: точно так же, как если бы это было обычное евклидово 4-мерное пространство. Кроме того, более наглядно: матрица преобразования Лоренца приобретает в точности вид реальной ортогональной матрицы за счет$\cos(ix) = \cosh x$(аналогично для$\sin x$). Таким образом, вы поворачиваете на сложный угол, но матрица выглядит как обычная ортогональная, например, увеличение в$x$-направление,

$$\left( \begin{matrix} \cos z & \sin z & 0 & 0\\ -\sin z & \cos z & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

куда$z$теперь является строго мнимым.

«... теперь мой вопрос заключается в том, почему и как (математически) мы получаем метрическую подпись Минковского. Точнее, один элемент с другим знаком».

Что ж, если вы посмотрите «Относительность: специальная и общая теории» Эйнштейна, вы обнаружите в Приложении I (непосредственно перед уравнением (10)), что Эйнштейн просто начал с теоремы Пифагора в 4D, которую он изложил следующим образом:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = ct$$

Затем он возвел обе стороны в квадрат и перешел$c^2t^2$налево, меняя знак. Это дало ему подпись [-, +, +, +]. Очевидно, вы в равной степени можете перемещать$x^2 + y^2 + z^2$вправо, и в этом случае вы получите перевернутую подпись [+, -, -, -] (по-видимому, это то, что сделал Минковский).

Любопытно, что из того, что Эйнштейн использовал теорему Пифагора, видно, что он говорит здесь о длинах/расстояниях, а не о координатах (точках), как он их потом называет (и все после него). С другой стороны, это вполне очевидно и без оглядки на вывод, если вдуматься. Просто вы не можете уменьшить точки (координаты) до бесконечно малых, таких как dx или dy, поскольку они не могут стать меньше, чем они уже есть - их расширение точно равно нулю. Вы также не можете квадратировать точки, чтобы сделать их$x^2$,$y^2$,$z^2$. Уменьшенная точка и точка в квадрате - это все еще одна и та же точка. В то же время ds называют «линейным элементом» (Эйнштейн называл его также «линейным элементом»). Линия предполагает расстояние или длину, а не точку (или координату, если уж на то пошло), не так ли?

И, кстати, из этого уравнения следует, что время «идет» ортогонально к x, y, z. Конечно, мы рисуем t ортогонально, например, x, чтобы лучше визуализировать различные функции, такие как ускорение. Но когда мы наблюдаем физические объекты, например, автомобиль, ускоряющийся, не меняя направления, они не «рисуют» гиперболу в пространстве, не так ли?

Кто-то дал мне следующую красивую картинку, которая всегда запоминалась впоследствии:

Источник света в вакууме включался в точке$(x_0,y_0,z_0)$вовремя$t_0$образует растущую со скоростью света сферу с радиусом$r = c (t-t_0)$. Уравнение сферы для$x = x(t)$,$y = y(t)$,$z = z(t)$является

$$r^2 = c^2(t-t_0)^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2.$$

В бесконечно малых пределах$t \to t_0$,$x \to x_0$, так далее...:

$$d(ct)^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.$$

Переписать как

$$0 = - d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \qquad \textrm{ or } \qquad 0 = d(ct)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

показывает, откуда берется относительный знак, а также иллюстрирует, почему либо$\eta^{\mu \nu }=\textrm{diag}(-1,1,1,1)$(первый случай) или$\eta^{\mu \nu} = \textrm{diag}(1,-1,-1,-1)$(второй случай) в порядке.

Поскольку это для светоподобных разделенных событий (т. е. волнового фронта реальной световой волны), ноль на самом деле является интервалом. Обычно это вызывает у меня проблемы только с тем, чтобы вспомнить, какой знак является правильным для пространственно-временного интервала. Оказывается, это

$$ds^2 = - d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

который, я думаю, вы можете получить, требуя правильного расстояния, является реальным числом:

$$d\sigma = \sqrt{ds^2} = \sqrt{- d(ct)^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2} .$$

Вот аргумент, в основном из-за Бонди.
Это физически мотивировано радиолокационными измерениями.

---

Во- первых, введение в k-исчисление Бонди . (Это основано на диаграмме из книги Бонди «E=mc2: введение в теорию относительности» ( http://www.worldcat.org/title/emc2-an-introduction-to-relativity/oclc/156217827 ), которая сопровождала диаграмму Бонди. серия лекций «E=mc2: Thinking Relativity Through», серия из десяти лекций на BBC TV, проходивших с 5 октября по 7 декабря 1963 года. В ней была опечатка, которую я исправил.)

Два инерционных наблюдателя (Бонди позвонит) Альфред и Брайан встречаются на мероприятии О.

Альфред выполняет радиолокационное измерение , чтобы присвоить координаты событию P на мировой линии Брайана.

Через некоторое время$T$на наручных часах Альфреда он посылает Брайану световой сигнал. Брайан получает сигнал одновременно$kT$на часах Брайана (событие P), где$k$– константа пропорциональности (независимая от$T$). [Этот$k$оказывается фактором Доплера].

Когда этот световой сигнал отражается на мировой линии Брайана (в событии P), отраженный сигнал возвращается на мировую линию Альфреда, когда часы Альфреда показывают$k(kT)$, где тот же множитель$k$используется из-за принципа относительности. (Мы также использовали, что скорость света для этих наблюдателей одинакова.)
[Примечание: эти два треугольника с двумя времяподобными сторонами и одной светоподобной стороной подобны в пространстве-времени Минковского.]

Итак, Альфред может присвоить удаленному событию P временную и пространственную координаты (смещения от события O):

$$\Delta t_{P}=(\mbox{half of the elapsed time})=\frac{t_{rec}+t_{send}}{2}=\frac{k^2T+T}{2}$$ $$\Delta x_{P}=(\mbox{half of the roundtrip distance})=c\frac{t_{rec}-t_{send}}{2}=c\frac{k^2T-T}{2}.$$

Разделив, можно получить$\quad v_{BA}=\displaystyle\frac{\Delta x_P}{\Delta t_P}=\frac{k^2-1}{k^2+1}\quad$(независим от$T$),
которая может быть решена для$k$чтобы получить формулу Доплера.

Обратите внимание, что
добавлением:$\quad \Delta t_{P}+(1/c)\Delta x_{P}=t_{rec}\quad$, и
вычитанием:$\Delta t_{P}-(1/c)\Delta x_{P}=t_{send}$.

---

Теперь рассмотрим двух инерциальных наблюдателей, производящих радиолокационные измерения , присваивая координаты удаленному событию (назовем его Q).

Каждый наблюдатель посылает световой сигнал и ждет получения его эха, отмечая показания своих наручных часов при этих двух событиях на его мировой линии. (Геометрически у нас есть световой конус Q, пересекающий две инерциальные мировые линии, которые встретились в событии O.)

[Примечание: хотя это и не обязательно, событие Q может быть на мировой линии третьего наблюдателя (назовем ее Кэрол). Тогда эти радиолокационные измерения будут включать$k_{CB}$а также$k_{CA}$, касающиеся Кэрол и Брайан и Кэрол и Альфред.
"$k$", использованное выше в первой части, и в части ниже можно было бы назвать$k_{BA}$чтобы связать Брайана и Альфреда.]

(Диаграмма взята из книги Бонди «Относительность и здравый смысл».)

Их показания наручных часов связаны

$$\left( \Delta t_Q' - \frac{\Delta x_Q'}{c}\right) = k\left( \Delta t_Q - \frac{\Delta x_Q}{c} \right)$$ а также $$\left( \Delta t_Q' + \frac{\Delta x_Q'}{c}\right) = \frac{1}{k}\left( \Delta t_Q + \frac{\Delta x_Q}{c} \right)$$

Путем умножения получаем следующее уравнение:

$$\left({\bf \mbox{invariant square interval}}\right)=\left( \Delta t_Q'^2 - \frac{\Delta x_Q'^2}{c^2}\right) =\left( \Delta t_Q^2 - \frac{\Delta x_Q^2}{c^2}\right),$$ со знаком минус перед пространственной координатой.
(Называть это «инвариантным квадратным интервалом», а не «минус инвариантный квадратный интервал» - это выбор соглашения о знаках.)

(Примечание: путем сложения и вычитания получаются преобразования Лоренца.)

Причина, по которой этот метод работает, заключается в том, что мы работаем в собственном базисе преобразования Лоренца, где светоподобные направления являются собственными векторами, а доплеровский фактор и его обратные значения являются собственными значениями.

---

Это основано на записи в блоге, которую я разместил здесь
https://www.physicsforums.com/insights/relativity-using-bondi-k-calculus/

С$g_{μυ}=\vec{e_{μ}} \cdot \vec{e_{υ}}$,$g_{00}=\vec{e_{0}} \cdot \vec{e_{0}}$, А также$\begin{pmatrix} ds\end{pmatrix}^{2}=g_{μυ}x_{μ}x_{υ}=-(ct)^{2}+x^{2}+...$;
Если:$g_{μυ}=\begin{pmatrix} ict\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.is декартова система координат, то$\vec{r}=ict \cdot \vec{ict} +x \cdot \vec{x} ...$,$g_{00}=\vec{e_{0}} \cdot \vec{e_{0}}=\vec{ict} \cdot \vec{ict}=1$;

Итак, в$g_{μυ}=\begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.$\frac{∂r}{∂\begin{pmatrix} ct\end{pmatrix}}=i\cdot \vec{ict}=\vec{e_{0}}$, поэтому его криволинейная система координат, а затем$g_{00}=-1$;

Так же в$g_{μυ}=\begin{pmatrix} t\\x\\y\\z\end{pmatrix}$.$\frac{∂r}{∂t}=ic\cdot \vec{ict}=\vec{e_{0}}$(его криволинейная система координат и тоже), то$g_{00}=-c^{2}$.

Википедия достаточно освещает эту тему https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space#Metric_signature.

Я цитирую: «В целом, но с некоторыми исключениями, математики и специалисты по общей теории относительности предпочитают, чтобы пространственноподобные векторы давали положительный знак (− + + +), в то время как физики элементарных частиц предпочитают, чтобы времениподобные векторы давали положительный знак (+ − − −)». «Аргументы в пользу» (- + + +) «включают« непрерывность »от евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу.$c \rightarrow \infty$". Есть много причин, чтобы предпочесть использовать (- + + +), например, четыре градиента, чтобы стать$(−c\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$. Использование одной подписи через другую — вопрос выбора и удобства.