Корень III, какой брать?

Пропагатор свободной частицы в 1d равен

К ( Икс б , т б ; Икс а , т а ) "=" м 2 π я ℏ ( т б − т а ) опыт ⁡ [ я м ( Икс б − Икс а ) 2 2 ℏ ( т б − т а ) ] .
Это выглядит мило.

Но здесь у нас есть квадратный корень из я . Между двумя корнями какой взять? На основании какого правила?

Я не уверен, что вы имеете в виду под "Какой из них следует взять?"
@KyleKanos: я думаю, что OP означает, что вы можете интерпретировать я "=" ± 1 + я 2 , и что есть неоднозначность знака.
Ну, не то чтобы корень действительного числа был однозначным... почему вы задаете этот вопрос для я а не для м ?
Действительно. Если бы это было только м , я бы взял положительный без колебаний. Но для я , я действительно озадачен.
@Jiang-minZhang Он имеет в виду, что по соглашению символ означает только положительный корень. Несмотря на то, что есть положительное и отрицательное решение г 2 "=" я , так же как и с г 2 "=" н , по определению берем я означать положительный корень, точно так же, как н является положительным корнем.

Ответы (3)

Этот пропагатор есть не что иное, как аналитическое продолжение функции Грина уравнения теплопроводности от действительных положительных до мнимых значений т б − т а . Следовательно, разрез в комплексной плоскости, чтобы сделать квадратный корень однозначным, должен быть проведен вдоль отрицательной действительной оси или, однако, в полуплоскости. Икс < 0 . С этим разрезом квадратный корень хорошо определен.

Все это означает, что я "=" е я π / 4 является математически правильным выбором в этой формуле, которая дает дельту Дирака для т а "=" т б .

Простой способ выбрать правильный корень состоит в том, чтобы заметить, что если ветвь квадратного корня проходит вдоль отрицательной действительной оси, то все квадратные корни будут иметь положительную действительную часть.
На самом деле здесь нас интересует, что происходит с мнимыми значениями, аналитически продолженными от положительной вещественной оси, так что в более общем случае разрез можно проводить в действительной отрицательной полуплоскости, выходящей из начала координат, не обязательно вдоль отрицательной оси.
Ага. Но для быстрого и готового эмпирического правила, если отрицательная действительная ось работает как разрез для г для ваших целей, то р е ( г ) > 0 .
@Emilio Pisanty: я согласен, эмпирическое правило заключается в том, что разрез проводится по отрицательной реальной оси.

Определять Δ т "=" т б − т а и Δ Икс "=" Икс б − Икс а .

Следует убедиться, что

(1) р е ( я Δ т )   >   0

положительно для экспоненциального множителя

(2) опыт ⁡ [ − м 2 ℏ ( Δ Икс ) 2 я Δ т ]

быть экспоненциально затухающей.

Эквивалентно, нужно выполнить фейнмановскую я ϵ рецепт, т. е. замена Δ т → Δ т − я ϵ в пропагаторе. Это требование (1) должно гарантировать, что

(3) ⟨ Икс б , т б | Икс а , т а ⟩   ⟶   дельта ( Δ Икс ) для Δ т → 0

когда кто-то выбирает ветвь квадратного корня, которая имеет положительную действительную часть.

Поскольку пропагатор определяется соотношением

ψ ( Икс , т ) "=" ∫ К ( Икс ′ , Икс , т , т ′ ) ψ ( Икс ′ , т ′ ) г Икс ′ г т ′
Малая неоднозначность привела бы к изменению фазы волновой функции, что не меняет предсказаний квантовой механики. Так что неважно, какой квадратный корень вы берете, я всегда беру корень из соображений исправления.

( г ) "=" ‖ г ‖ 1 / 2 е я аргумент ⁡ ( г ) / 2

Это физически верно, однако с математической точки зрения только выбор фазы дает тождество для т "=" т ′ в твоей первой личности...
Корень III, какой брать?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v