Комплексные числа в квантовой механике и специальной теории относительности

Существует ли физическая связь между использованием комплексных чисел для волновой функции в (нерелятивистской) квантовой механике и в специальной теории относительности (как она сформулирована в условиях пространства Минковского)?

Или это просто две разные теории, использующие один и тот же математический трюк?

На самом деле это не математический трюк, а глубокая математическая связь между вращениями и комплексными числами, которая делает это. Между прочим, мы больше не используем комплексные числа в теории относительности. Этот подход был заменен использованием метрики и дифференциальной геометрии.
Комплексные числа полезны, когда одну из степеней свободы можно рассматривать как фазу, потому что комплексное число в полярной форме естественным образом кодирует фазу. Это полезно в квантовой механике, оптике и электрических схемах, но менее применимо в ОТО.
@CuriousOne, не могли бы вы уточнить эту математическую связь? Я бы очень хотел узнать об этом (ага! Я всегда думал, что это просто хитрый трюк, придуманный математиками :)
Вы читали en.wikipedia.org/wiki/Complex_number ? Представление фазора должно быть широко известно.
Подробнее о комплексных числах: physics.stackexchange.com/questions/tagged/complex-numbers
@JohnRennie: Можем ли мы ввести фазу в специальной теории относительности как θ "=" танх − 1 ( в / с ) ? Есть ли физическая связь между этой фазой и фазой в квантовой механике?
@Bob: скорость - это угол, но я не уверен, что полезно рассматривать его как фазу. Если вы знаете о таком приложении, пожалуйста, кричите.
@JohnRennie: Может быть, этот раздел статьи в Википедии является таким приложением. Но я должен признаться, что плохо разбираюсь в технических деталях. Приветствуется любой свет, которым вы можете светить?
Прочтите «Воображаемую сказку: История i» Пола Нахина. amazon.com/Paul-J.-Nahin/e/B001HCS1XI . Из этого вы можете получить дополнительный взгляд на природу мнимых чисел и их связь с физическими системами, не говоря уже об отличных исторических отчетах.

Ответы (3)

Если вы имеете в виду использование комплексных чисел в том смысле, что метрика пространства-времени может быть записана с использованием евклидовой метрики, но с я в компоненте времени для получения требуемого знака минус, то это устаревший способ ведения дел, и физическое сообщество по существу отказалось от него в пользу более мощной основы полуримановой геометрии.

С другой стороны, не совсем так, что комплексные числа не могут быть полезны в теории относительности, особенно для выяснения связей, существующих между теорией относительности и квантовой механикой.

Следующее является второстепенным, но оно достаточно красивое, поэтому я готов рискнуть голосами против, чтобы люди были ознакомлены с определенными идеями.

Изюминкой (см. конец) будет то, что существует глубокая математическая связь между теорией относительности и понятием «спин» в квантовой механике, и эта связь имеет какое-то отношение к правильному использованию комплексных чисел в теории относительности, а именно к рассмотрению определенных математических объекты, называемые группами, некоторые из которых естественным образом описываются в терминах матриц со сложными элементами.

Симметрии в физике и теории относительности.

В физике и математике симметрии системы заключены в определенные объекты, называемые группами, которые в основном говорят нам, какие действия мы можем делать с системой, не изменяя ее соответствующей структуры.

Например, симметрии пространства Минковского (без учета четности и обращения времени) состоят из элементов так называемой группы Пуанкаре

п "=" р 3 , 1 ⋊ С О ( 3 , 1 ) + .
По сути, эта группа состоит из ускорений, вращений и перемещений пространства-времени.

Теперь, по причинам, которые я не буду здесь объяснять (см. Идея покрывающей группы ), когда мы хотим начать рассмотрение того, как применить эти симметрии физической системы к квантовым системам, мы должны рассмотреть «представления» «универсальных покрывающих групп» группы симметрии, а не сами группы. Когда мы вычисляем универсальную накрывающую группу группы Пуанкаре, мы получаем группу, которая наиболее естественно описывается с помощью комплексных матриц:

р 3 , 1 ⋊ С л ( 2 , С ) .
Кроме того, конечномерные представления подгруппы С л ( 2 , С ) дайте нам представление о размерности 2 с + 1 где
с "=" 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , … .
Если вы изучали квантовую механику (даже нерелятивистскую), то должны узнать эти числа. Это возможные спины частиц!

Другими словами, квантово-механическое понятие спина возникает математически естественным образом, когда вы рассматриваете симметрии в специальной теории относительности.

Здесь можно еще многое сказать, но я позволю заинтересованному читателю разобраться самому.

Может, упомянуть проф. Вигнера, для исторической полноты?

Связи не так уж и много, потому что использование комплексных чисел в специальной теории относительности само по себе является просто физически бессмысленным приемом, который часто больше не используется. 1

В специальной теории относительности у нас есть раздражающая (для некоторых) разница в знаках между временем и пространством. Современная интерпретация состоит в том, что (псевдо) метрика просто не является положительно определенной, и это нормально. У нас есть

д с 2 "=" − ( с д т ) 2 + ( д Икс ) 2 + ( д у ) 2 + ( д г ) 2 ,
так что есть реальные комбинации д т , д Икс , д у , д г которые приводят к отрицательным значениям д с 2 .

Однако кто-то где-то заметил, что переворот знака во времени можно скрыть, закопав дополнительный множитель я в определении направления времени, поскольку ( с я т ) 2 "=" − ( с т ) 2 . Теперь у нас есть честная, положительно определенная метрика, действующая на «мнимое время». т "=" я т и реальный космос Икс , у , г :

д с 2 "=" ( с д ( я т ) ) 2 + ( д Икс ) 2 + ( д у ) 2 + ( д г ) 2 "=" ( с д т ) 2 + ( д Икс ) 2 + ( д у ) 2 + ( д г ) 2 ,
поэтому любой набор реальных бесконечно малых разностей д т , д Икс , д у , д г приведет к неотрицательному д с 2 .

Это мило, но обратите внимание, что мы даже не использовали большую часть структуры С . Все, что нам было нужно, это концепция чего-то, чей квадрат − 1 . А положительная определенность работает только для реальных т , т.е. для чисто мнимого т . Нельзя просто так избавиться от того факта, что реальные положительные расстояния и реальные положительные интервалы времени могут и должны приводить к пространственно-временным интервалам обоих знаков. Специальная теория относительности (в отличие, возможно, от квантовой механики) не тесно связана со сложной структурой.

Более того, общая теория относительности кладет конец любому представлению о том, что комплексные числа упрощают вещи. Можно иметь метрику

д с 2 "=" − ( д т ) 2 + д т д Икс + ( д Икс ) 2 + ( д у ) 2 + ( д г ) 2 .
The т → − я т преобразование может сделать первый коэффициент положительным, но второй коэффициент станет комплексным. Использование комплексных чисел только для того, чтобы избежать отрицательного знака, в некотором роде является излишеством и саморазрушением.

1 По крайней мере, когда речь идет о метрике. См. Ответ Джошфизики для другого использования комплексных чисел.

Не следует торопиться сбрасывать со счетов комплексные числа как полезные для понимания геометрии специальной теории относительности. Как указал Пенроуз, наблюдатель ночного неба (рассматриваемый как сфера Римана в соответствии с расширенной комплексной плоскостью посредством стереографической проекции), который претерпевает преобразование Лоренца, увидит положение звезд, сдвинутое преобразованием Мёбиуса (также известным как линейно-дробное преобразование) сфера Римана. Это действительно глубокая связь между преобразованиями Лоренца и сложной геометрией, и она соответствует покрытию SO(1,3) SL(2,C), упомянутому в последнем посте. См., например , http://www.mathpages.com/rr/s2-06/2-06.htm и http://www.math.wustl.edu/~feres/Math496F15/Math496F15HW02Sol.pdf .

Комплексные числа в квантовой механике и специальной теории относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 2v