Регулирование суммы в Casimir Force

Я пытаюсь оценить силу Казимира с помощью гауссового регулятора (я знаю, что есть другие, гораздо более простые способы сделать это, но я хочу попробовать этот!) Затем мы сводим к оценке суммы

∑ н "=" 1 ∞ н е − α н 2

Более того, меня интересует разложение приведенной выше суммы в ряд вокруг α "=" 0 . Любые идеи, как я могу получить эту сумму?

PS - я не хочу использовать формулу Эйлера-Маклаурена. Она использовалась, чтобы показать, что общий регулятор всегда будет давать один и тот же ответ, так что это будет просто частный случай этого доказательства, а не очень новый способ . Любые другие идеи?

Я знаю только решение этого с помощью ряда Эйлера-Маклорена. Однако Прахар прав, что отсюда он точно следует общему доказательству регулятора.

Ответы (1)

Ну, вы можете просто использовать экспоненциальное разложение Тейлора.

∑ н "=" 1 ∞ н е − α н 2 "=" ∑ н "=" 1 ∞ н ∑ м ( − α н 2 ) м м !
и используйте определение дзета-функции Римана
ζ ( с ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ 1 н с
так что у тебя есть
∑ м ( − α ) м ) ζ ( − 2 м − 1 ) м !
и, наконец, используйте регуляризацию дзета-функции.

Привет JAAT, добро пожаловать в физику.SE! Это выглядит многообещающе, но я не уверен, что это сработает. Можете ли вы уточнить? Спасибо!
Регулирование суммы в Casimir Force
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v