Релятивистская энергия и понимание импульса

После обсуждения с некоторыми людьми мне кажется, что способ определения таких величин, как «энергия» и «импульс» в целом , состоит в том, чтобы просто рассматривать их как «сохраняющиеся величины» при некоторых особых условиях. Первоначальные определения, такие как «произведение массы и скорости» и «способность выполнять работу»… в большинстве случаев хорошо работают, но ясно, что в качестве общих определений они неуместны.

В этом свете для меня имело смысл переопределить моментум. Используя простой аргумент. Мы анализируем упругое столкновение двух шаров в двух системах отсчета: в системе покоя и в системе из двух мячей. Было ясно, что импульс, если мы просто определим его как$mv$, не будет сохраняться в обоих кадрах.

Поэтому имело смысл переопределить импульс. У нас есть:

$$\mathbf{p}= \gamma(v) m \mathbf{v}$$ Можно показать, что это определение делает его сохраняющейся величиной без какой-либо силы в обеих системах отсчета и, таким образом, соответствует принципу относительности.

Теперь, что касается энергии:

Можно показать, что (используя новое определение импульса), соответствующий KE должен быть:

$$\mathrm{KE}= \gamma mc^2- mc^2$$

Теперь учебники просто перемещаются$mc^2$на другую сторону, а потом заявить, что "$\mathrm{KE}+mc^2$определяет полную энергию", поэтому мы получаем$E=\gamma mc^2$.

Моя проблема со всем этим снова заключается в том, как точно определить энергию? Почему$\mathrm{KE}+mc^2$выбрано в качестве определения полной энергии$E$? Не потому ли, как я сказал ранее, что при некоторых условиях можно показать, что это сохраняющаяся величина?

Кроме того, почему возникла необходимость рассмотреть$mc^2$как дополнительный бит энергии в этом уравнении? Мне кажется, что мы можем обойтись только использованием только что определенного$\mathrm{KE}$все время в уравнениях сохранения энергии, и это тоже должно работать...