Релятивистская поправка к атому водорода - теория возмущений

Давайте подумаем о системе, которая имеет двукратное вырождение для некоторого заданного уровня энергии. То есть два состояния$\psi_{a}$и$\psi_{b}$, оба из которых соответствуют энергии$E_{0}$. Примером может служить частица со спином 1/2 с гамильтонианом, не зависящим от спина.

Теперь представьте, что когда мы применяем к системе возмущение H ', вырождение распадается на два различных уровня энергии:$E_{1}$и$E_{2}$.

Тонкость заключается в том, что эти два различных энергетических уровня не обязательно соответствуют двум вырожденным состояниям (это не обязательно тот случай, когда$H'\psi_{a} = E_{1}\psi_{a}$и$H'\psi_{b} = E_{2}\psi_{b}$). Возможно, что две различные возмущенные энергии соответствуют линейным комбинациям двух вырожденных состояний, т.е.$H'(\alpha \psi_{a} + \beta \psi_{b}) = E_{1}(\alpha \psi_{a} + \beta \psi_{b})$, и аналогично для некоторой другой линейной комбинации (ортогональной первой).

Эта тонкость является причиной того, что в вырожденной теории возмущений поправки первого порядка к энергии требуют вычисления недиагональных элементов, т.е. вещей, которые выглядят как$\langle \psi_{a} | H' | \psi_{b} \rangle$. Это раздражает, потому что в теории возмущений первого порядка нам нужно было вычислить только один скалярный продукт. В вырожденной теории возмущений мы должны вычислить целую матрицу скалярных произведений, чтобы вычислить поправку к энергии.

Поскольку вычислять скалярные произведения утомительно, было бы неплохо узнать прием, позволяющий выяснить, равны ли нулю недиагональные элементы возмущающего гамильтониана. Этот прием описан и доказан на стр. 259-260 Гриффитса.

В случае вашего вопроса исходный гамильтониан сферически симметричен (кулоновский потенциал не имеет угловой зависимости). Кроме того, возмущающий гамильтониан сферически симметричен. Если вы посмотрите на форму оператора углового момента, вы заметите, что он включает только вещи с$\theta$и$\phi$(производные и косинусы и прочее). В этом хорошо то, что если у меня есть чисто радиальный гамильтониан (зависит только от r), то он определенно коммутирует с L.

Все, что делает Гриффитс, — это показывает, что условия теоремы о стр. 259, что показывает, что вырожденная теория возмущений коллапсирует к невырожденной теории возмущений.

Я не знаком с идеей состояний, «связанных» гамильтонианом. Я бы предположил, что два состояния связаны гамильтонианом, если ожидаемое значение одного состояния не равно нулю, учитывая, что оно изначально находится в другом состоянии.

Надеюсь это поможет!

Этот оператор возмущения является скаляром (в том смысле, что он не меняется при поворотах). В этом смысл того факта, что он коммутирует с операторами момента количества движения (или что он сферически симметричен, как вы говорите).

Поскольку это скаляр, он не может связать два состояния с разными значениями углового момента или разными проекциями углового момента (его матричный элемент между любыми двумя такими состояниями должен быть равен нулю). Это не снимет вырождения по угловому моменту, и поэтому вырожденная теория возмущений приведет к тому же результату, что и невырожденная — вы можете выбрать любой базис, с которым хотите работать.

Теорема Вигнера -Экарта позволяет связать симметрии возмущения с возможными неисчезающими матричными элементами.

Поскольку энергетические уровни атома водорода вырождены (энергия зависит только от квантового числа$n$так что энергия одинакова для всех значений$l$и$m$), мы могли бы подумать, что нам нужно применить вырожденную теорию возмущений. Однако мы можем вспомнить теорему, которую мы доказали ранее, которая утверждает, что если мы можем найти оператор, который коммутирует с невозмущенным гамильтонианом и возмущением, то собственные векторы этого оператора могут быть использованы как «особые» состояния, и мы можем уйти с использованием невырожденной теории [Введение Дэвида Дж. Гриффита в КМ]. В этом случае стационарные состояния$\psi_{nlm}$являются собственными состояниями операторов углового момента$L^2$и$L_z$и эти два оператора коммутируют с$p^2$и$p^4$, Итак$\psi_{nlm}$функции уже являются особыми состояниями, и мы можем просто применить невырожденную теорию, используя эти функции напрямую [Ссылка: http://physicspages.com/pdf/Griffiths%20QM/Griffiths%20Problems%2006.12.pdf] .