Решение гамильтониана БКШ с помощью преобразования Боголюбова

Я делал вычисления в главе 3 «Введение в физику многих тел» Джамарчи по теории БКШ и вторичному квантованию и столкнулся с некоторой путаницей с гамильтонианом БКШ. PDF-файл здесь для справки: http://dpmc.unige.ch/gr_giamarchi/Solides/Files/many-body.pdf

Основная путаница возникает с уравнением. 3.154. Здесь гамильтониан БКШ имеет вид

ЧАС "=" ∑ к ( А ( к ) ( β к † β к − α к † α к ) + Δ ( α к † β к + β к † α к ) ) + ∑ к ξ ( к )

Где ξ ( к ) и А ( к ) являются функциями к и α к и β к являются фермионными операторами. Теперь я знаю, что гамильтониан сильной связи с периодическим потенциалом задается уравнением. 3.128:

ЧАС "=" ∑ к ( А ( к ) ( β к † β к − α к † α к ) + В ( α к † β к + β к † α к ) )
Решение этого легко решить с помощью преобразования Боголюбова и дается выражением

Е ( к ) "=" ξ ( к ) 2 + В 2
Я смог получить это без каких-либо проблем. Однако мой вопрос заключается в следующем: будет ли тогда решение гамильтониана БКШ

Е Б С С ( к ) "=" ξ ( к ) 2 + В 2 + ξ ( к )

Или он будет идентичен гамильтониану сильной связи? Изменятся ли и собственные векторы, заданные преобразованием Боголюбова?

Это зависит от того, интересует ли вас спектр гамильтониана (собственные значения H) или увеличение энергии при добавлении одной квазичастицы. Обычно интересует последнее.
@ Адам Итак, спектр ξ ( к ) 2 + В 2 , а прирост энергии после добавления квазичастицы равен ξ ( к ) 2 + В 2 + ξ ( к ) ?
Перепишите гамильтониан после преобразования Боголюбова (и будьте осторожны с коммутацией лестничных операторов), и все станет ясно.
Я не понимаю, как вы можете прийти к ξ 2 + В 2 + ξ . Только напомни, что последний срок ∑ к ξ к — энергия вакуума, не входящая ни в спектр, ни в энергию возбуждения квазичастиц. В любом случае спектр должен быть ξ 2 + В 2 без дополнительных ξ .

Ответы (2)

Как сказано в документе Джамарчи: «Это с точностью до простой константы в точности тот гамильтониан, который мы уже исследовали, и поэтому его можно решить с помощью точно таких же преобразований».

Действительно, ∑ к ξ ( к ) является константой: в ней не участвует ни один из операторов α к или β к , и может быть написано Е 0 "=" ∑ к ξ ( к )

Следовательно, разрешение гамильтониана БКШ привело бы к

Е Б С С ( к ) "=" ξ ( к ) 2 + В 2 + ∑ к ′ ξ ( к ′ ) "=" ξ ( к ) 2 + В 2 + Е о

что соответствует той же энергии, что и случай ТБ с потенциалом выше, сдвинутым на фиксированную величину, и приведет к тем же собственным векторам.

Что вы подразумеваете под «решением гамильтониана БКШ»? В квантовой механике решение — это наблюдаемая величина, которую вы хотите вычислить. Тем не менее, я обычно называю статистическую сумму (главную каноническую для задач многих тел) «решением», потому что она содержит большую часть информации о системе.

Отвечая на ваш вопрос, предполагая, что ваш вопрос касается спектра квазичастиц (энергий возбуждения): энергии квазичастиц равны Е к "=" ξ к 2 + В 2 .

Полная «энергия» (на самом деле мы имеем дело с гранд-каноническим гамильтонианом, поэтому ξ к являются энергиями, отнесенными только к химическому потенциалу) после возбуждения квазичастиц. Е к "=" ξ к 2 + В 2 + ∑ к ξ к плюс некоторые другие энергетические константы, которые вы могли выбросить по пути (иногда константы необходимы, но не в общем случае).

Решение гамильтониана БКШ с помощью преобразования Боголюбова
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v