Справедливость приближения среднего поля

Теория среднего поля хороша только тогда, когда флуктуации малы, а это означает, что свободная энергия флуктуации должна быть намного меньше, чем полная свободная энергия.

Свободная энергия типичной флуктуации имеет порядок$kT$а его размер определяется корреляционной длиной$\xi$, и в порядке$\xi^d$, с$d=$измерение:

Использовав$\xi \sim \mid t \mid^{-\nu}$куда$t=(T-T_c)/T_c$а также$T_c$является критической температурой. Чтобы получить полную свободную энергию, мы должны проинтегрировать удвоенную удельную теплоемкость,$c\sim \mid t \mid^{-\alpha}$. Наложение этого$F_{fluct}/F$идет к$0$за$t\to 0$мы получаем

Например, в модели Изинга мы имеем$\alpha=0$а также$\nu=1/2$, так что условие$d>4$. Вот почему приближение среднего поля плохо подходит для модели Изинга менее чем в четырех измерениях.

Вы можете точно ввести "будущее" бозонное среднее поле, используя метод Хаббарда-Стратонича (он же частичная бозонизация), см. Википедию и Взаимодействующие фермионы на решетке, а также преобразование Хаббарда-Стратоновича и приближение среднего поля .

Приближение среднего поля соответствует выполнению интеграла по бозонному полю с использованием приближения стационарной фазы. Фермионное действие билинейно и может быть выполнено точно. Поправки к приближению стационарной фазы соответствуют флуктуациям вокруг среднего поля. Они малы, если четырехфермионная связь в теории БКШ мала. Если связь сильная, может оказаться возможным обосновать приближение среднего поля с помощью большого N (N компонент векторного поля) или большого d (количество измерений) приближения.

Строго говоря, эффективное действие бозонизированной теории равно

Около$T_c$поправки к среднему полю (= Ландау-Гинзбург) контролируются критерием Гинзбурга, как объясняется в ответе Valrio92. В BCS со слабой связью окно Гинзбурга мало, а среднее поле является точным, за исключением очень близкого к$T_c$.

Недавно я заметил ссылку @akhmeteli, которая очень помогает мне понять МИД. Здесь я сделаю некоторые математические расчеты (относительно исходной задачи):

• шаг 1: выберите один невзаимодействующий гамильтониан с любым количеством настраиваемых параметров, скажем

  $$H_0 = H_0(E, \Delta) = \sum E_k c^\dagger_{k\sigma} c_{k\sigma} + \sum_{k, \sigma\sigma'} (\Delta_{k, \sigma\sigma'}c_{k\sigma}^{\dagger}c_{- k\sigma'}^{\dagger} + \text{H.C.})$$ обратите внимание, что форма здесь подразумевает пространственную трансляционную симметрию. Конечно, вы можете использовать более общую форму, которая может дать вам больше наблюдений (скажем, состояние волны плотности, которое нарушает трансляционную симметрию).

• шаг 2: Неравенство Боголюбова помогает найти оптимальный набор параметров, определяющий:

  $$F(H) = -\frac{1}{\beta} \log \left(\Tr(e^{-\beta H})\right)$$
  $$\expect{\hat{O}}_0 = \frac{\Tr( \hat{O} e^{-\beta H_0})}{\Tr( e^{-\beta H_0})}$$ неравенство (вариационный принцип): $$F(H) \leq F(H_0) + \expect{H-H_0}_0, \quad \forall H_0$$ оптимальный$H_0$таким образом, дается: $$\min_{\text{all parameters}} F(H_0) + \expect{H-H_0}_0$$

с некоторой дополнительной математикой, особенно с уравнением Фейнмана-Хеллмана:

Теория среднего поля точна (в термодинамическом пределе) в случае дальнодействующего взаимодействия (чего нельзя сказать о модели ближайшего соседа Изинга). Следовательно, теория среднего поля точна для БКШ, где у вас есть эффективное дальнодействующее взаимодействие. Что касается строгих результатов, то Боголюбов строго доказал, что в основном состоянии (нулевая температура) энергии, приходящиеся на одну частицу, для БКШ и теории среднего поля в термодинамическом пределе совпадают. Позже Боголюбов-младший строго доказал то же самое для произвольных температур (и свободных энергий на частицу). См. библиографию, например, на http://arxiv.org/abs/1507.00563 (обсуждение идет на странице 43).