Оценка низкотемпературной зависимости щелевой функции БКШ

Как можно оценить поведение разрыва BCS?$\Delta = \Delta(T)$для$T \to 0^+$в приближении слабой связи$\Delta/\hbar\omega_D \ll 1$?

В Fetter & Walecka, Квантовая теория систем многих частиц , Prob. 13.9 сказано, что отправной точкой является

$$\tag{1} \ln\frac{\Delta_0}{\Delta} = 2\int_0^{\hbar\omega_D}{\frac{\mathrm d\xi}{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}\frac{1}{e^{\beta\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}+1}},$$ что у меня нет проблем с выводом из теории, но я не могу найти способ фактически оценить этот интеграл даже в приближениях $\hbar\omega_D \to \infty$, $\Delta \approx \Delta_0$(в правой части) и $\beta\Delta \to \infty$. [Конечно $\beta = (k_BT)^{-1}$и $\Delta_0 = \Delta(T = 0)$.] Я пробовал несколько подходов, использовал разные разложения Тейлора и замены переменных, но я просто застрял.

Для записи ожидаемое поведение должно быть

$$\tag{2} \Delta(T) \sim \Delta_0\left(1 - \sqrt{\frac{2\pi}{\beta\Delta_0}}e^{-\beta\Delta_0}\right) .$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Просто оставив это здесь для потомков. Я нашел более полный способ решения этого интеграла; в частности, в приближении WC имеем

$$\int_0^{+\infty}{\frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2 + 1}}\frac{e^{-\beta\Delta\sqrt{x^2 + 1}}}{1 + e^{-\beta\Delta\sqrt{x^2 + 1}}}} = \int_1^{+\infty}{\frac{\mathrm d y}{\sqrt{y^2 - 1}}\frac{e^{-\beta\Delta y}}{1 + e^{-\beta\Delta y}}} =$$ $$= \sum_{k=1}^{+\infty}\int_1^{+\infty}{\frac{\mathrm d y}{\sqrt{y^2 - 1}} (-1)^{k+1}e^{-k\beta\Delta y}} = \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\int_0^{+\infty}{\mathrm d t\; e^{-k\beta\Delta \cosh{t}}} = \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1} K_0(k\beta\Delta),$$

$K_0$являющаяся модифицированной функцией Бесселя второго рода 0 -го порядка, асимптотика которой известна и может быть использована для решения задачи относительно чистым способом (и даже для нахождения поправок более высоких порядков, которые$\in O(e^{-\beta\Delta}(\beta\Delta)^{-k - 1/2})$. См. Абрикосов, Горьков, Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике , 1963. Пагг. 303-304.