Решение простых задач с использованием только уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Question

Решение простых задач с использованием только уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Физика
магнитостатика
электромагнетизм
уравнения Максвелла

Нини

Решите простые электростатические или магнитостатические задачи, используя только уравнения Максвелла. Например:

В каждой книге есть задание по нахождению магнитного поля вне тонкой проволоки радиусом $a$ с текущим $I$ . Обычным подходом является закон Био-Савара или закон Ампера. Я знаю, что вы можете вывести закон Био-Савара из уравнений Максвелла или использовать интегральную форму закона Ампера, чтобы легко решить это, но меня интересует решение, включающее векторный потенциал. $A$ и уравнение Пуассона. Затем решить уравнение с разделением переменных. Какие могут быть граничные условия?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Рассмотрите это так: вы знаете, обратите внимание на эти два магнитостатических уравнения:

$\nabla\cdot \textbf{B} = 0$ и $\nabla \times \textbf{H} = \textbf{J}$

а вы теперь про кулоновскую калибровку $\nabla \cdot \textbf{A} =0$ и $\textbf{B}=\nabla \times \textbf{A}$ и что $\textbf{H}$ и $\textbf{B}$ просто связаны $\textbf{B}= \mu \textbf{H}$

Какое дифференциальное уравнение это дает и какие граничные условия вы бы использовали для этой конкретной задачи?

Ответы (2)

Решение простых задач с использованием только уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Спенсер · Answer 1

На самом деле это не проблема «граничных условий» в том смысле, что мы не пытаемся получить знания о $\vec{A}$ на некоторой поверхности и распространить его на решение уравнения Лапласа в некоторой области, границей которой является поверхность. Причина, по которой вы не можете этого сделать, заключается в том, что у вас нет априорной причины знать, как $\vec{A}$ следует искать заданный $\vec{J}$ .

Скорее вы пытаетесь перевернуть информацию об источниках, $\vec{J}$ , в информацию о поле, $\vec{A}$ . Это требует фактического инвертирования $\nabla^2$ оператора, который предполагает использование функций Грина. Например, вы можете использовать формулу,

А_{Икс} (\vec{Икс}) "=" \frac{мю}{4 π} \int \frac{{Дж}_{Икс} ({\vec{Икс}}^{'}) г^{3} {\vec{Икс}}^{'}}{| \vec{Икс} - {\vec{Икс}}^{'} |} .

$A_x(\vec{x}) = \frac{\mu}{4\pi} \int \frac{J_x(\vec{x}') d^3\vec{x}'}{\left| \vec{x}-\vec{x}' \right|} .$

@RobJeffries, спасибо, что указали на это. Прошло некоторое время с тех пор, как я работал в единицах СИ.
Я вижу, я на самом деле решил последнее уравнение из поста ниже и получил правильное поле B, но только потому, что я знал, как должно вести себя A, т.е. я использовал симметрию координат z и phi., что странно, потому что я не должен не знаю, как выглядит A, как вы указали. Я до сих пор не понимаю всей идеи этих функций Грина, но теперь я понимаю, что могу использовать уравнение Пуассона. решать проблемы, ТОЛЬКО если знать некоторую информацию о A или B, то есть граничные условия. Это все расстраивает, потому что я должен решить, какой метод использовать, например, упражнение 5.13. в Джексоне некоторые используют уравнение Пуассона. а некоторые используют этот интеграл

Кайл Ариан-Рейнс · Answer 2

▽ \times Б "=" мю Дж

$\mathbf{\bigtriangledown \times B = \mu J}$ и

Б "=" ▽ \times А

$\mathbf{B = \bigtriangledown \times A}$ так

▽ \times ▽ \times А "=" мю Дж

$\mathbf{\bigtriangledown \times \bigtriangledown \times A = \mu J}$

Из определения векторного лапласиана имеем

▽ \times ▽ \times А "=" ▽^{2} А - ▽ (▽ \cdot А)

$\mathbf{\bigtriangledown \times \bigtriangledown \times A} = \mathbf{\bigtriangledown}^{2}\mathbf{A} - \mathbf{ \bigtriangledown\left (\bigtriangledown\cdot A \right )}$

Кулоновская калибровка обращает в нуль второй член в правой части, так что мы остаемся с

▽^{2} А "=" - мю Дж

$\mathbf{\bigtriangledown}^{2}\mathbf{A} = -\mathbf{\mu J}$ что представляет собой просто уравнение Пуассона в векторной форме. Чтобы связать векторный потенциал с радиусом провода и током, проходящим через него, можно проинтегрировать плотность тока по поперечному сечению провода.

Решение простых задач с использованием только уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Нини

Ответы (2)

Спенсер

Спенсер

Нини

Кайл Ариан-Рейнс

Можно ли квалифицировать заряд, движущийся по открытой траектории, как ток?

Что такое замкнутый ток?

Как бы вы определили электростатику и магнитостатику, исходя из уравнений Максвелла?

Вывод закона Ампера из Био-Савара

Сохранение заряда в уравнениях Максвелла

Допущения при расчете B⃗ B→\vec{B} с использованием (контурного) закона Ампера

Что значит быть уникальным с точки зрения векторных потенциалов?

Вывод закона Био-Савара из уравнений Максвелла

Текущая геометрия и закон Ампера