Решение уравнения Клейна-Гордона не допускает вероятностной интерпретации

Рассмотрим решения ψ уравнения Клейна-Гордона:

( ∂ 2 ∂ т 2 − Δ + м 2 ) ψ ( Икс ) "=" 0
и определить:
р "=" я 2 м ( ψ * ∂ ψ ∂ т − ∂ ψ * ∂ т ψ ) и Дж "=" − я 2 м ( ψ * ∇ ψ − ∇ ψ * ψ )
Затем с помощью небольшой алгебры можно показать, что выполняется следующее уравнение неразрывности:
∂ р ∂ т + ∇ ⋅ Дж "=" 0

Вопрос: Я слышал, что, поскольку приведенное выше уравнение неразрывности имеет как положительные, так и отрицательные решения, решения уравнения Клейна-Гордона не имеют вероятностной интерпретации. Почему это? Точнее, какая связь между вероятностными интерпретациями и уравнениями неразрывности? Имеет ли это какое-то отношение к теореме Нётер?

Проверьте "каноническое квантование" и "Море Дирака", эти ключевые слова должны вас куда-то привести...

Ответы (2)

Говорить об отрицательной вероятности просто не имеет смысла. Согласно общей аксиоматической структуре вероятности, называемой колмогоровскими аксиомами вероятности , первая аксиома — неотрицательность.

Что бы значило сказать, что существует − 20 % вероятность найти частицу в области Икс е [ Икс 1 , Икс 2 ] при измерении его положения? Точно, ничего!

Редактировать

Описание проблемы ОП немного расплывчато, поэтому я хотел бы уточнить здесь описание, которое я имею в виду.

Определение плотности вероятности, связанной с волновыми функциями, удовлетворяющими уравнениям КГ и допускающими уравнение неразрывности, может быть найдено следующим образом:

р "=" я 2 м ( ψ * ∂ ψ ∂ т − ψ ∂ ψ * ∂ т )
с уравнением неразрывности
∇ ⋅ Дж → + ∂ р ∂ т "=" 0
где
Дж → "=" 1 2 м я ( ψ * ∇ ψ − ψ ∇ ψ * )

Поскольку уравнение КГ является уравнением второго порядка, можно свободно выбирать ∂ ψ ∂ т как часть начального условия — и, таким образом, ничто не гарантирует, что предполагаемая плотность вероятности р является неотрицательным. Более того, даже если вы начинаете с тщательно подобранных начальных условий, которые приводят к неотрицательной начальной плотности вероятности, уравнения КГ могут развить систему до такого состояния, что плотности вероятности станут отрицательными. Смотрите, мой старый вопрос .

Спасибо за Ваш ответ! Я предполагаю, что цель моего вопроса - прояснить связь между р и ψ . Я имею в виду, заявление "потому что р не обязательно положительный, то ψ не имеет вероятностной интерпретации». Но почему одно влечет за собой другое?
@MathMath Хорошо, нет, плотность вероятности не | ψ | 2 здесь. Это я / 2 м ( . . . ) выражение, которое я записал. Причина того, почему это плотность вероятности, а не | ψ | 2 потому что невозможно найти ток плотности вероятности, удовлетворяющий уравнению непрерывности, если взять | ψ | 2 как плотность вероятности.

Теорема Нётер говорит нам, что существует уравнение неразрывности, соответствующее любой симметрии, которую имеет система. Для уравнения Шредингера глобальная фазовая симметрия соответствует уравнению непрерывности, включающему величину, которую можно интерпретировать как ток плотности вероятности. Если вы попытаетесь сделать то же самое для уравнения Клейна-Гордона, вы обнаружите, что эта интерпретация не может быть правильной, потому что она подразумевает отрицательные вероятности, которые абсурдны по определению того, что такое вероятности.

Решение уравнения Клейна-Гордона не допускает вероятностной интерпретации
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v