Решение задач КМ с использованием асимптотики

Когда мы решаем задачи КМ путем решения уравнения Шредингера, такие как задачи о частице в потенциале Морзе, потенциале Пошля-Теллера и многие другие, мы обычно находим аппроксимации (назовем их как$f_{i}(x_{j})$) волновой функции$\Psi (x_{j})$в точках равновесия$x_{i}$. Затем мы заменяем$\Psi (x_{j}) = \psi(x_{j})\prod_{i}f_{i}(x_{i})$в уравнение Шредингера, а затем в большинстве случаев волшебным образом получают гипергеометрическое уравнение для$\psi (x_{j})$(или что-то вроде этого уравнения; если нет, мы можем свести уравнение к гипергеометрическому простой заменой).

Я не понимаю, почему это работает. Иногда это похоже на нахождение решения в виде обобщенного ряда, но в других случаях я не могу придумать соответствующую интерпретацию. Мне не нравится интерпретация, которая относится к идее,$\psi (x_{j})$сшивает асимптотику, потому что она слишком абстрактна и не объясняет, почему метод работает в большинстве случаев (как по мне). Так какое же объяснение?

Может быть, это связано со строгим методом приведения уравнения к гипергеометрическому типу? Но как именно?