Каким дифференциальным уравнением является уравнение Шредингера? Однородный или неоднородный?

Мы знаем, что уравнение Шредингера имеет вид ЧАС ^ | Ψ ⟩ "=" Е | Ψ ⟩ . Если мы напишем гамильтониан ЧАС ^ как п ^ 2 2 м + В ( Икс ) а затем использовать п ^ "=" − я ℏ ∂ Икс мы можем записать это уравнение в базисе положения как:

(1) [ ∇ 2 + 2 м ℏ 2 ( Е − В ( Икс ) ) ] Ψ ( Икс ) "=" 0
Теперь мы можем изменить уравнение (1), чтобы записать его как:
(2) [ ∇ 2 + 2 м ℏ 2 Е ] Ψ ( Икс ) "=" 2 м ℏ 2 В ( Икс ) Ψ ( Икс )
Уравнение (1) является однородным уравнением, которое может быть решено точно аналитически [например, для атома водорода, т.е. 1 электрон в потенциальном поле 1 протона].
Уравнение (2) — это просто переработанная версия уравнения (1). Но оно имеет вид неоднородного уравнения. Это можно решить методом функции Грина, и решение выглядит так:
(3) Ψ ( Икс ) "=" Ψ 0 ( Икс ) + 2 м ℏ 2 ∫ г Икс г 0 ( Икс ) В ( Икс ) Ψ ( Икс )
где Ψ 0 ( Икс ) является решением однородной части " [ ∇ 2 + 2 м ℏ 2 Е ] Ψ 0 ( Икс ) "=" 0 " уравнения (2) и г 0 ( Икс ) есть функция Грина оператора " [ ∇ 2 + 2 м ℏ 2 Е ] ". Теперь для того, чтобы найти выражение Ψ ( Икс ) из уравнения (3) мы должны использовать приближение Борна, и тогда я не знаю, сможем ли мы достичь точного решения, которое мы получим, решив уравнение (1) аналитически.

Мои вопросы:

(A) Поскольку уравнение (1) и уравнение (2) являются одним и тем же уравнением, но немного измененным, они должны иметь одинаковое решение, скажем, для задачи об атоме водорода. Можно ли найти одно и то же решение из этих двух уравнений?

(B) Почему мы никогда не решаем неоднородное уравнение (уравнение 2) для задачи об атоме водорода.

(C) Но почему мы решаем неоднородное уравнение (уравнение 2) для задачи рассеяния.

(D) Почему мы не решаем однородное уравнение (уравнение 1) для задачи рассеяния.

(E) Вообще говоря: в чем основное различие между однородным и неоднородным дифференциальным уравнением и как узнать, какое из них решать в какой физической ситуации?

Ответы (1)

Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно записать в виде

л ^ Ψ ( Икс , т ) "=" 0 ,
где л ^ является дифференциальным оператором, возможно, включающим частные производные и функции, но не зависящим от Ψ ( Икс , т ) , так как в противном случае уравнение было бы нелинейным. Неоднородное уравнение имело бы вид
л ^ Ψ ( Икс , т ) "=" ф ( Икс , т ) ,
где ф ( Икс , т ) некоторая функция, отличная от Ψ ( Икс , т ) .

Таким образом, уравнение Шредингера (зависящее от времени и не зависящее от времени) является однородным уравнением, поскольку его всегда можно перестроить, чтобы оно имело однородную форму.

Более популярный метод решения уравнения Шредингера, известный как разложение возмущений , основан на рассмотрении этого уравнения как неоднородного путем выделения части этого уравнения, как если бы это был внешний член. ф ( Икс , т ) . Решая однородную часть этого уравнения, оно преобразуется в интегральное уравнение, которое затем можно повторять бесконечное число раз для получения формально точного решения полного уравнения. На практике это решение либо а) усекается в определенном порядке ( теория возмущений ), либо б) формально используется для получения полезных соотношений (теория рассеяния), либо в) можно суммировать только подсерии этого решения (разложение Фейнмана-Дайсона и сопутствующие методы).

В случае уравнения для атома водорода нет необходимости прибегать к какому-либо из этих методов, так как оно точно решаемо. Однако их можно использовать при наличии дополнительного возмущения , например, для изучения атома водорода в магнитном поле. Он также мог бы попытаться рассматривать кулоновский потенциал как возмущение невзаимодействующей частицы и предположительно просуммировать ряд возмущений, но это излишне сложный способ.

Точно так же для некоторых задач рассеяния уравнение Шрёдингера точно решаемо и не требует использования приближенных методов. Рассеяние на прямоугольном барьере, о котором идет речь в элементарной квантовой механике, — лишь один из примеров.

Спасибо за ответ. Когда мы делаем рассеяние от центрального потенциала, мы следуем корню неоднородного уравнения. Почему? Можно ли это сделать и в корне однородного уравнения? (Если возможно, ответьте на этот вопрос, отредактировав свой ответ выше. Ваш ответ уже очень привлекателен, и ответ на эту часть сделает его более полным.)
Как я пытался объяснить, мы решаем уравнения, используя ряды возмущений или другие приближенные методы, когда точное решение невозможно или трудно работать. Большинство дифференциальных уравнений не могут быть решены точно. Я не уверен, что вы называете "коренью"... Кажется, вам не хватает надлежащей математической подготовки в области дифференциальных уравнений (особенно уравнений в частных производных), и я настоятельно рекомендую вам узнать о них больше - это ответит на большинство ваших вопросов.
Вы правы насчет моего знакомства с PDE. «корень» было неправильным словом, которое я использовал. Я хотел сказать "почему это было сделано путем решения неоднородного уравнения". Теперь это достаточно ясно из вашего комментария. Спасибо
Каким дифференциальным уравнением является уравнение Шредингера? Однородный или неоднородный?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v