Зависимое от времени уравнение Шрёдингера с V=V(x,t)V=V(x,t)V=V(x,t)

Во-первых, есть несколько проблем с потенциалом, зависящим от времени,$V(x,t)$. А именно, если мы применим теорему Нётер, закон сохранения энергии может не применяться. В частности, если при переводе

лагранжиан$\mathcal{L}=T-V(x,t)$изменяется не более чем на полную производную, то будет применяться закон сохранения энергии, но это ограничивает возможную$V(x,t)$, в зависимости от системы.

Мы часто рассматриваем каждое уравнение Шредингера в индивидуальном порядке, поскольку определенная система может поддаваться другому подходу, например, гармонический осциллятор легко решается с помощью формализма операторов рождения и уничтожения. Если мы рассмотрим потенциал, зависящий от времени, уравнение обычно имеет вид

В зависимости от$V$, можно использовать преобразование Лапласа или Фурье. Другой подход, как упомянул Йонас, — это теория возмущений, согласно которой мы аппроксимируем систему как более простую систему и вычисляем аппроксимации более высокого порядка для полностью возмущенной системы.

Пример

В качестве примера рассмотрим случай$V(x,t)=\delta(t)$, и в этом случае уравнение Шредингера принимает вид

Мы можем провести преобразование Фурье относительно$t$, скорее, чем$x$, чтобы войти в пространство угловых частот:

которое, если известны начальные условия, представляет собой потенциально простое дифференциальное уравнение второго порядка, к решению которого затем можно применить обратное преобразование Фурье.

Я не знаю общего рецепта. Если зависящая от времени часть$V$является слабым, можно применить теорию возмущений, зависящую от времени (TDPT), для вычисления поправок к невозмущенному, не зависящему от времени решению. Это должно содержаться в любой книге по квантовой механике. Таким образом, можно также рассчитать вероятность и скорость перехода. В частности, для периодических возмущений это приводит к золотому правилу Ферми, которое часто можно применять, не проходя весь механизм TDPT.