Квадрат углового момента и гамильтониан?

Question

Квадрат углового момента и гамильтониан?

Иллари

Я пытаюсь показать, для гамильтониана $H = \vec{P}^2/2m + V(\vec{X})$ , что $[\vec{L}^2,H]=0$ если $V(\vec{X}) = V(|\vec{X}|)$ , и у меня почти получилось, есть только одна вещь, в которой я запутался.

Итак, что я сделал:

[{\vec{л}}^{2}, ЧАС] "=" [л_{Икс}^{2} + л_{у}^{2} + л_{г}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (\vec{Икс})] "=" [л_{Икс}^{2} + л_{у}^{2} + л_{г}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (| \vec{Икс} |)]

$[\vec{L}^2,H] = [L_x^2 + L_y^2 + L_z^2, \frac{\vec{P}^2}{2m} + V(\vec{X})] = [L_x^2 + L_y^2 + L_z^2, \frac{\vec{P}^2}{2m} + V(|\vec{X}|) ]$

"=" [л_{Икс}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (| \vec{Икс} |)] + [л_{у}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (| \vec{Икс} |)] + [л_{г}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (| \vec{Икс} |)]

$= [L_x^2,\frac{\vec{P}^2}{2m} + V(|\vec{X}|)] + [L_y^2,\frac{\vec{P}^2}{2m} + V(|\vec{X}|)] + [L_z^2,\frac{\vec{P}^2}{2m} + V(|\vec{X}|)]$ Глядя на

L_{x}^{2}

$L_x^2$ компонент:

\to [л_{Икс}^{2}, \frac{{\vec{п}}^{2}}{2 м} + В (| \vec{Икс} |)] "=" \frac{1}{2 м} [л_{Икс}^{2}, п^{2}] + [л_{Икс}^{2}, В (| \vec{Икс} |)]

$\rightarrow [L_x^2,\frac{\vec{P}^2}{2m} + V(|\vec{X}|)] = \frac{1}{2m}[L_x^2,P^2] + [L_x^2,V(|\vec{X}|)]$

"=" \frac{1}{2 м} [л_{Икс}^{2}, п_{Икс}^{2} + п_{у}^{2} + п_{г}^{2}] + [л_{Икс}^{2}, В (| \vec{Икс} |)]

$= \frac{1}{2m}[L_x^2,P_x^2+P_y^2+P_z^2] + [L_x^2,V(|\vec{X}|)]$

"=" \frac{1}{2 м} ([л_{Икс}^{2}, п_{Икс}^{2}] + [л_{Икс}^{2}, п_{у}^{2}] + [л_{Икс}^{2}, п_{г}^{2}]) + [л_{Икс}^{2}, В (| \vec{Икс} |)]

$= \frac{1}{2m} \bigg( [L_x^2,P_x^2]+[L_x^2,P_y^2]+[L_x^2,P_z^2] \bigg) + [L_x^2,V(|\vec{X}|)]$

Что касается импульсных частей, это очень утомительная работа, которую я не буду печатать, но в конце концов я понимаю, что

[л_{Икс}^{2}, п_{Икс}^{2}] "=" [л_{Икс}^{2}, п_{у}^{2}] "=" [л_{Икс}^{2}, п_{г}^{2}] "=" 0

$[L_x^2,P_x^2]=[L_x^2,P_y^2]=[L_x^2,P_z^2]=0$ и аналогично для

[L_{y}^{2}, P^{2}] = 0

$[L_y^2,P^2]=0$ и

[L_{z}^{2}, P^{2}] = 0

$[L_z^2,P^2]=0$ . Моя проблема в том, что для этого мне нужно

[л_{Икс}^{2}, В (| \vec{Икс} |)] "=" 0

$[L_x^2,V(|\vec{X}|)] = 0$ и аналогично

[л_{у}^{2}, В (| \vec{Икс} |)] "=" [л_{г}^{2}, В (| \vec{Икс} |)] "=" 0

$[L_y^2,V(|\vec{X}|)]=[L_z^2,V(|\vec{X}|)]=0$ но я не очень понимаю, почему это так? Любое понимание будет оценено.

Гоненц

В качестве примечания: никогда в физике вы не должны сначала пытаться сделать что-то более сложное, например, четко вычислить коммутатор.

[L_{x}, V]

$[L_x,V]$ гораздо проще, чем вычислить

[L_{x}^{2}, V]

$[L_x^2,V]$ . Другими словами, вы всегда должны сначала стараться быть «ленивым» :)

Ответы (2)

Квадрат углового момента и гамильтониан?

В качестве примечания: никогда в физике вы не должны сначала пытаться сделать что-то более сложное, например, четко вычислить коммутатор. $[L_x,V]$ гораздо проще, чем вычислить $[L_x^2,V]$ . Другими словами, вы всегда должны сначала стараться быть «ленивым» :)

Гоненц · Answer 1

Майк уже ответил на вопрос, но я думаю, что есть еще один аккуратный ответ, в котором вы можете использовать декартовы координаты. Обратите внимание, что (я не буду использовать шляпы для операторов, а повторяющиеся индексы суммируются!) $L_i = \epsilon_{ijk} x_j p_k$ как оператор, следовательно, мы имеем:

[л_{я}, {Икс}_{л}] "=" ϵ_{я Дж к} [{Икс}_{Дж} п_{к}, {Икс}_{л}] "=" ϵ_{я Дж к} {Икс}_{Дж} [п_{к}, {Икс}_{л}] "=" - я ℏ ϵ_{я Дж к} {Икс}_{Дж} {дельта}_{к л} "=" - я ℏ ϵ_{я Дж л} {Икс}_{Дж} "=" я ℏ ϵ_{я л Дж} {Икс}_{Дж}

$[L_i, x_l] = \epsilon_{ijk}[x_jp_k,x_l] = \epsilon_{ijk}x_j[p_k,x_l] = -i\hbar \epsilon_{ijk} x_j \delta_{kl} = -i\hbar \epsilon_{ijl}x_j = i\hbar \epsilon_{ilj} x_j$

где на втором шаге я использовал тождество коммутатора $[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C$ и на последнем шаге поменялись местами $j$ и $l$ . Точно так же мы имеем (возможно, с точностью до знака):

[л_{я}, п_{л}] "=" я ℏ ϵ_{я л Дж} {Икс}_{Дж}

$[L_i,p_l] = i\hbar \epsilon_{ilj} x_j$

Следовательно, мы получаем с $r^2=x_lx_l$ :

[л_{я}, р^{2}] "=" [л_{я}, {Икс}_{л} {Икс}_{л}] "=" 2 я ℏ ϵ_{я л Дж} {Икс}_{Дж} {Икс}_{л} "=" 0 "=" [л_{я}, п^{2}]

$[L_i,r^2]=[L_i,x_lx_l] = 2i\hbar \epsilon_{ilj}x_jx_l = 0 = [L_i, p^2]$

обратите внимание, что это соответствует интуитивному предположению, что длина вектора $x$ и $p$ не меняется при вращении. Наконец, нам нужно только заметить, что любая функция $V(|x|)$ можно записать как функцию $V(r^2)$ и поэтому:

[л_{я}, В (р^{2})] "=" 0 "=" [л_{я}, В (| Икс |)]

$[L_i, V(r^2)]=0=[L_i, V(|x|)]$

Обратите внимание, что таким образом мы доказали нечто гораздо более сильное. $[H,L_i]=0$ если потенциал зависит только от радиуса.

Одно замечание: классический аналог этой задачи состоит в том, чтобы показать, что вектор углового момента сохраняется, если в центральном потенциале $V(r)$ .

Хороший. Первая часть — это то, о чем я думал, когда писал свой комментарий о $[L^2, P^2]$ , но используя $r^2 = x_l x_l$ довольно умный.

Майк · Answer 2

Помните, что $L_x$ , $L_y$ , и $L_z$ являются генераторами вращения вокруг $x$ , $y$ , и $z$ оси соответственно. Но $V(\vec{X})=V(|\vec{X}|)$ говорит, что ваш потенциал инвариантен относительно вращений. Таким образом, физически вы ожидаете, что любой из этих операторов углового момента коммутирует с таким потенциальным оператором $V$ .

Математически я бы сказал, что проще всего это увидеть, используя оператор углового момента в сферических координатах . Более конкретно, я бы сказал, что вам, вероятно, следует сделать резервную копию и просто доказать $[L^2, V(|\vec{X}|)] = 0$ расширяя $L^2$ как $\frac{1}{2}(L_{+}L_{-} + L_{-}L_{+}) + L_{z}^2$ . Обратите внимание, что эти операторы не имеют $\partial / \partial_r$ срок, так что они коммутируют с $V(r)$ .

Я предполагаю, что до сих пор вы делали всю свою работу, используя декартову основу. Это верно, но часто имеет смысл поискать другие способы решения проблемы. И изменение координат — это одна из первых вещей, о которых вы должны подумать.

Квадрат углового момента и гамильтониан?

Иллари

Гоненц

Ответы (2)

Гоненц

Майк

Майк

Ожидаемое значение гамильтониана?

Описание энергий с помощью странного гамильтониана

Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

Обоснование решения этого гамильтониана

Эрмитовость лапласиана (и других операторов)

Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Откуда берется iii в уравнении Шрёдингера?

Инвариантно ли собственное значение гамильтониана относительно линейного преобразования оператора импульса?

Как получить аналитическое выражение для запаздывающей функции Грина с квадратичным гамильтонианом?

Можно ли определить уравнение Шредингера для наблюдаемой другой величины?