Решения гармонического осциллятора не всегда являются комбинацией разделимых решений?

Question

Решения гармонического осциллятора не всегда являются комбинацией разделимых решений?

Физор

Существуют ли решения уравнения Шредингера, не являющиеся линейной комбинацией разделимых решений, и как их найти?

В Griffiths, Quantum, Prob. 2.49 существует решение ( зависящего от времени ) уравнения Шрёдингера, которое имеет вид

Ψ (Икс, т) "=" {(\frac{м ю}{π ℏ})}^{1 / 4} опыт [- \frac{м ю}{2 ℏ} ({Икс}^{2} + \frac{а^{2}}{2} (1 + е^{- 2 я ю т}) + \frac{я ℏ т}{м} - 2 а Икс е^{- я ю т})] .

$\Psi(x,t)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\left[-\frac{m\omega}{2\hbar}\left(x^2+\frac{a^2}{2}(1+e^{-2i\omega t})+\frac{i\hbar t}{m}-2axe^{-i\omega t} \right)\right].$ Кажется, что это не линейная комбинация стационарных состояний, которые он нашел ранее в главе.

Если это причина, значит ли это, что решение нестационарного уравнения Шредингера путем разделения переменных не дает общего решения, как утверждал автор? если да, то как найти другие решения?

Ответы (1)

Решения гармонического осциллятора не всегда являются комбинацией разделимых решений?

Майк Стоун · Answer 1

Иногда расширения не очевидны. Например, уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, зависящее от времени.

я \partial_{т} ψ "=" - \frac{1}{2} \partial_{Икс}^{2} ψ + \frac{1}{2} ю^{2} {Икс}^{2} ψ

$i\partial_t \psi = -\frac 12 \partial^2_x \psi +\frac 12 \omega^2 x^2 \psi$ имеет «дышащее» решение

ψ (Икс, т) "=" {(\frac{ю}{π})}^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{е^{я ю т} + р е^{- я ю т}}} опыт {- \frac{ю}{2} (\frac{1 - р е^{- 2 я ю т}}{1 + р е^{- 2 я ю т}}) {Икс}^{2}},

$\psi(x,t)= \left(\frac{\omega}{\pi}\right)^{1/4}\frac 1{\sqrt{e^{i \omega t} +R e^{-i\omega t}}}\exp\left\{ - \frac \omega 2 \left(\frac{1-R\,e^{-2i\omega t}}{1+R\,e^{-2i\omega t}}\right)x^2\right\},$ где параметр

| R | < 1

$|R|<1$ .

Формула Мелера дает разложение по состояниям как

ψ (Икс, т) "=" π^{1 / 4} \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- я (н + 1 / 2) ю т} ф_{н} (0) (я \sqrt{р})^{н} \frac{ф_{н} (\sqrt{ю} Икс)}{(ю)^{1 / 4}} .

$\psi(x,t) {=}\pi^{1/4}\sum_{n=0}^\infty e^{-i(n+1/2) \omega t} \varphi_n(0)(i\sqrt R)^n \frac{\varphi_n(\sqrt{\omega} x)}{(\omega)^{1/4}}.$ Здесь

ф_{н} (Икс) \equiv \frac{1}{\sqrt{2^{н} н! \sqrt{π}}} {ЧАС}_{н} (Икс) е^{- {Икс}^{2} / 2}

$\varphi_n(x)\equiv \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2}$ нормированный

ω = 1

$\omega=1$ волновая функция гармонического осциллятора. Сейчас

φ_{n} (0)

$\varphi_n(0)$ исчезает, если

n

$n$ странно, и

π^{1 / 4} ф_{2 н} (0) "=" \frac{1}{\sqrt{4^{н} (2 н)!}} \frac{(2 н)!}{н!} (- 1)^{н} .

$\pi^{1/4}\varphi_{2n}(0)= \frac{1}{\sqrt{4^n (2n)! } } \frac{(2n)!}{n!}(-1)^{n}.$ таким образом, мы нашли набор совершенно «неочевидных» коэффициентов разложения.

Решения гармонического осциллятора не всегда являются комбинацией разделимых решений?

Физор

Ответы (1)

Майк Стоун

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Точное решение в замкнутой форме квантового гармонического осциллятора

Квантовый гармонический осциллятор, решенный аналитическим методом с использованием уравнения Шредингера и волновой функции

Уникальность квантовой лестницы для гармонического осциллятора

Кто-нибудь опубликовал процедуру обобщения лестничных операторов для любого потенциала в уравнении Шрёдингера?

3D Квантовый гармонический осциллятор

Точки поворота и вторая производная волновой функции

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Замена квантового гармонического осциллятора