Точное решение в замкнутой форме квантового гармонического осциллятора

Прежде всего обратите внимание на следующее: Если$\psi(x,0)$любая нормализуемая волновая функция в вашем гильбертовом пространстве, то$\psi(x,t) = e^{-iHt} \psi(x,0)$(я установил$\hbar = 1$) удовлетворяет зависящему от времени уравнению Шрёдингера (мы называем это «эволюцией во времени»). Это можно увидеть, используя тот факт, что стационарные состояния составляют основу вашего гильбертова пространства и, следовательно,$\psi(x,0)$можно расширить по ним. Затем можно проверить подстановкой (после подстановки расширенной формы$\psi(x,0)$в$\psi(x,t)$), что TDSE удовлетворен.

Теперь я не проверял это явно, но мне кажется, что эволюционировавшая во времени волновая функция для основного состояния сдвинута вправо на$a$(это имеет правильные свойства в$a=0$и$t=0$). А именно, мы просто применяем оператор временной эволюции к$\psi(x,0) = \psi_0(x-a)$где$\psi_0(x)$– волновая функция основного состояния. Чтобы на самом деле убедиться, что$\psi(x,t) = e^{-iHt}\psi(x,0)$совпадает с написанной вами волновой функцией, можно действовать следующим образом:

Использовать

Короче говоря, поиск наиболее общего зависящего от времени решения сводится к поиску пропагатора. Затем можно использовать это для эволюции во времени любой стационарной волновой функции по желанию.

Это волновая функция когерентного состояния ; это хорошо известное решение квантового гармонического осциллятора, обладающее большим количеством хороших свойств. Существует большое количество независимых способов его получения, поэтому довольно бессмысленно пытаться угадать, какой из них имел в виду Гриффитс.