Ряд поворотных магнитов и шкала энергии

$\def\vm{{\bf m}}$Если магниты могут свободно вращаться, они найдут состояние с наименьшей энергией. Это происходит, когда все магниты выровнены вдоль линии «голова к хвосту».

$$\begin{equation*} \rightarrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{1} \end{equation*}$$ Если теперь магнит на одном конце повернуть на четверть оборота, а затем зафиксировать, из этого не следует, что все остальные магниты выстроятся попеременно. $$\begin{equation*} \uparrow\downarrow\uparrow\cdots\uparrow\tag{2} \end{equation*}$$ На самом деле магниты будут выравниваться примерно так $$\begin{equation*} \uparrow\searrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{3} \end{equation*}$$ так как потенциальная энергия этой конфигурации меньше, чем у (2).

Некоторые подробности

Потенциальная энергия магнитного диполь-дипольного взаимодействия между ближайшими соседями$i$и$i+1$имеет форму

$$H_{i,i+1} = -J(3(\vm_i\cdot \hat x)(\vm_{i+1}\cdot \hat x)-\vm_i\cdot \vm_{i+1})$$ где мы берем $\hat x$быть единичным вектором, указывающим от диполя $i$к $i+1$. Сдача $\vm_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$мы нашли $$H_{i,i+1}=-\frac{J}{2}(3\cos(\theta_i+\theta_{i+1}) + \cos(\theta_i-\theta_{i+1})).$$

Потенциал между ближайшими соседями минимален, когда$\theta_i = \theta_{i+1}=0$или$\pi$, и в этом случае находим$H_{i,i+1}=-2J$. Таким образом, энергия конфигурации (1) примерно равна

$$H = -2Jn$$ где $n+1$это количество магнитов. (Здесь мы игнорируем эффекты дальнего действия.)

С другой стороны, если$\theta_i = -\theta_{i+1} = \pm\pi/2$у нас есть$H_{i,i+1}=-J$. Таким образом, энергия конфигурации (2) примерно равна

$$H = -Jn.$$

Обратите внимание, что конфигурация

$$\begin{equation*} \uparrow\rightarrow\rightarrow\cdots\rightarrow\tag{4} \end{equation*}$$ имеет потенциал $$H = -2J(n-1)$$ с $H_{1,2}=0$. Для больших $n$это значительно меньше энергии конфигурации (2).

Некоторые результаты для конкретных значений$n$

Для двух магнитов конфигурация будет заявленной.

$\hskip2.8in$

Для трех магнитов энергия может быть минимизирована алгебраически. Мы уже видим, что магниты любят быть выровненными. Мы нашли

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& \pi/2 = 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -\cos^{-1}\sqrt{2/3} \approx -35^\circ \\ \theta_3 &=& \cos^{-1}2\sqrt{2}/3 \approx 19^\circ. \end{eqnarray*}$$

$\hskip2.6in$

Для$50$магнитов энергия может быть минимизирована численно. Находим с точностью до десятых долей

$$\begin{eqnarray*} \theta_1 &=& 90^{\circ} \\ \theta_2 &=& -30.0^\circ \\ \theta_3 &=& 8.2^\circ \\ \theta_4 &=& -2.2^\circ \\ \theta_5 &=& 0.6^\circ \\ \theta_6 &=& -0.2^\circ \\ \theta_7 &=& 0.0^\circ \\ &\vdots& \\ \theta_{50} &=& 0.0^\circ. \end{eqnarray*}$$

$\hskip1.5in$

Вы не получаете одинаковое количество работы, N, от каждой катушки. Единицы дальше дают вам меньше работы. Следовательно, общая работа, восстанавливаемая катушками, не равна L*N. (кстати, L и N имеют очень специфические значения в электромагнетизме, поэтому вам следует избегать использования этих имен переменных)

На самом деле, полная энергия системы сохраняется все время, потому что потенциальная энергия временно преобразуется в кинетическую, пока далекие магниты не торопятся двигаться.

Чтобы убедить вас, что N непостоянно, представьте себе генератор переменного тока и вспомните, что работа — это интеграл мощности по времени.

При заданном крутящем моменте trq при 0 об/мин генератор переменного тока дает 0 мощности, поэтому он выполняет 0 работу по истечении времени t. При том же заданном крутящем моменте trq при частоте вращения > 0 мощность генератора переменного тока > 0, поэтому он выполняет ненулевую работу по истечении времени t.

Следовательно, мощность генератора зависит от скорости вращения. По мере выполнения работы вы будете восстанавливать свои магнитные блоки. Те медленно движущиеся единицы, которые находятся далеко от начального магнита, дают вам меньше работы, чем ближайшие к нему. (это не самый элегантный способ объяснить это, но, пожалуй, самый интуитивный)