Семейства гамм: гептатонические гаммы, организованные полушагами в их интервальном написании.

Рассмотрим ноту как набор частот, лад как набор из семи нот и гамму как набор из семи ладов. Следовательно, C — это набор частот, CDEFGAB — набор нот, ионийский лад и его семь циклических перестановок образуют набор, называемый мажорной гаммой.

Теперь рассмотрим семейство звукорядов как набор звукорядов с одинаковым числом полутонов в написании. Используя это определение, мы получаем следующие семейства:

  • Ступенчатая шкала (3 члена): два м2 и пять м2.
  • Skip-Scale (20 участников): три м2 , три М2 и один м3.
  • Шкала с двойным пропуском (15 элементов): четыре м2 , одна М2 и две м3.

Итак, это 38 гамм и 266 ладов, которые можно построить, используя более m3 в их интервальном написании. Этот метод, однако, позволяет вам легко расширять другие семейства с большими интервалами, чем m3:

  • Major-Four-Step-Scale (15 участников): четыре m2 , два M2 и один M3.
  • Major-Five-Step-Scale (6 участников): пять m2 , один m3 и один M3.
  • Tritone-Scale (1 член): шесть m2 и один TT.

И хотя это не гептатоника, чтобы завершить все возможные варианты написания полушагов, мы должны включить

  • Додекатоническая шкала (1 член): двенадцать м2 .

Таким образом, общее количество возможных гептатонических гамм составляет 60, охватывающих в общей сложности 420 ладов.

Может ли кто-нибудь проверить эти результаты для меня и, в идеале, указать мне журнал или книгу, в которой шкалы организованы по сходным принципам, т. е. созданы семейства шкал, даже если они так не называются?

разве комбинация, которую вы называете пропуском шкалы, не должна составлять три м2, три м2 и один м3, чтобы добавить 12 полутонов?
и почему рассматривают гептатонические и додекатонические сочетания, а не промежуточное число нот (например, октатоник - 4 м2 и 4 м2 и т. д.)?
Спасибо, что заметили это; зафиксированный. Я работаю с точки зрения теории групп. В нем додекатоника является родительской шкалой, а гептатоника - дочерней; октотонические и другие тонические гаммы являются «двоюродными братьями», но не являются частью этого «генеологического» исследования.

Ответы (2)

Я не чувствую себя комфортно, проверяя результаты, просто потому, что я не настолько хорошо подготовлен как математик, и мне было бы удобнее пойти по этому пути, чтобы проверить что-то с таким количеством перестановок.

Тем не менее, вот несколько замечательных источников в области теории музыки, которые вы должны проверить:

  • Кэри, Норман и Клампитт, Дэвид (1989). «Аспекты правильно построенных гамм», Music Theory Spectrum 29: 249-70.
  • Клаф, Джон (1979). «Аспекты диатонических наборов», Журнал теории музыки 23: 45–61.
  • Клаф, Джон и Даутетт, Джек (1991). «Максимально четные наборы», Journal of Music Theory 35: 93–173.
  • Ран, Джей (1977), «Некоторые повторяющиеся особенности весов», In Theory Only 2, вып. 11-12: 43-52.

Все это необходимо для изучения теории масштабов. (Я рекомендую начать со статьи Clough/Douthett 1991 года, которая, вероятно, является самой известной.) Вы также захотите ознакомиться с такими понятиями, как свойство Майхилла , свойство глубокого масштаба и представление о том, что кардинальность равна разнообразию .

Веселиться!

Спасибо, Ричард. Я знаком со всеми этими работами. «Мои» семейства не основаны на каком-либо свойстве теории множеств и не предназначены для каталогизации всех возможных комбинаций нот; они только каталогизируют возможные комбинации семи интервалов, которые в сумме составляют 12 полушагов. Примечательной особенностью «моей» иерархии является то, что она помещает 2212221 на один конец спектра и 611111 на другой; если бы были похожие иерархии, у них были бы похожие конечные точки, а я их еще не нашел. Но я бы не хотел брать на себя ответственность за «мою» иерархию, если на самом деле она была организована таким образом раньше.
@RicardoJRademacher Понял; звучит как интересный проект! Я не могу вспомнить ни одной системы, подобной той, которую вы описываете, но вы можете проверить понятие «химического анализа» Говарда Хэнсона из его «Гармонических материалов современной музыки» 1960 года. Он касается аккордов, а не гамм , но это смутно похожий подход. (Я упоминаю об этом только как о чем-то, о чем вам следует знать, а не потому, что это пересекается с вашей работой.)
Фантастический совет, спасибо! Я присматриваюсь к Хэнсону более внимательно (мало с ним сталкивался), но, как и другие, они разделяют философию включения негептатонических гамм в свою организационную модель, где я сосредоточен исключительно на гептатонических шкалах из додекатонических.
Хотя то, что указано выше, относится к количеству и значению каждого интервала в их написании, в нем не указано, как эти интервалы организованы. При этом образуются «подсемейства». Так, например, скиповые весы состоят из 20 членов. Но это организовано в 4 подсемейства, и вот что интересно, мы, кажется, выбрали только ОДНУ гамму из каждого подсемейства в традиционной западной музыке и игнорируем остальные! Эти подсемейства: гармонический минор (6 членов), гармонический мажор (6 членов), неаполитанский минор (6 членов) и венгерский мажор (2 члена).

Недавно я заинтересовался количеством различных гептатонических гамм и их классификацией.

Очевидно, вам не хватает семьи из пяти m2, одной M2 и одной P4 (идеальная четвертая) из 6 членов. Это составляет 66 гептатонических гамм.

Приведенный выше результат можно проверить с помощью некоторой комбинаторики. Рассуждение может быть таким: существует 12!/(5!7!) = 792 возможных способа выбрать 7 нот из 12 нот хроматической гаммы. Конечно, некоторые из них совпадают с точностью до циклической перестановки. На самом деле циклическая перестановка в 1, 2, .., 12 позиций любого конкретного выбора образует набор длины 12 (можно доказать, что все циклические перестановки любого выбора отличны друг от друга, поскольку 7 и 12 взаимно просты). Таким образом, эти 792 пути распадаются на 792/12 = 66 коллекций.

Семейства гамм: гептатонические гаммы, организованные полушагами в их интервальном написании.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v