Как мы можем связать математические перестановки с музыкой?

Вы, конечно, можете рассматривать перестановки в музыке. Есть раздел музыкальной теории, называемый неоримановой теорией , и он рассматривает то, что мы называем «бережливым голосовым управлением». («Экономный» в основном означает «наиболее эффективный».)

Допустим, у нас есть трезвучие до мажор, которое переходит в трезвучие ля минор. Вот один из способов:

G  E  (down three semitones)
E  C  (down four semitones)
C  A  (down three semitones)

Таким образом, между этими двумя трезвучиями основного положения у нас есть чистое движение в 10 полутонов (!). Вряд ли бережливый. Так что давайте вместо этого перейдем к трезвучию ля минор в первом обращении!

G  E  (down three semitones)
E  A  (down seven semitones, or up five)
C  C  (no movement!)

Это на самом деле эквивалентно в некотором смысле; если ми смещается вниз к ля, мы снова имеем чистое смещение на 10 полутонов. Даже если E сдвинется вверх, мы получим 8 пройденных полутонов.

Итак, вот где перестановки вступают в игру, потому что, если мы уточним минорное трезвучие первой инверсии как C E A, мы получим:

G  A  (up two semitones)
E  E  (no movement!)
C  C  (no movement!)

Здесь движется только один голос, и то всего на два полутона!

Если вам действительно интересна статья, в которой обсуждается эта концепция, вы можете получить к ней доступ здесь .

Здесь есть еще одна недавняя статья , которая представляет собой учебник по комбинаторике в музыке и обсуждает другие способы, которыми это может быть полезно.

Изучая и математику, и музыку на университетском уровне, я задавал себе очень похожие вопросы — на самом деле, когда я искал тему для своей бакалаврской диссертации по математике, я активно искал литературу в этом направлении.

Короче ничего полезного не нашел.

Очевидно, что, поскольку музыка не является полностью случайной, у вас будут возникать некоторые закономерности, а поскольку многие разделы математики (например, алгебра) были изобретены для описания закономерностей , вы найдете кое-какие приложения для математики. И есть большое количество книг/статей, делающих именно это. Вы можете довольно легко определить интервальные прыжки как операции над набором из 12 полутонов, гордиться тем, что у вас есть то, что математически называется группой, а затем вы переходите к множеству милых маленьких теорем о том, что вы обычно делаете, и упаковываете их в аккуратные маленькие «теоремы». Дело в том, что из того, что я до сих пор читал, это не имеет ничего общего с математикой как таковой, а скорее с тем, что можно назвать здравым музыкальным смыслом. Просто описано излишне сложно с некоторыми элементарными математическими обозначениями.

Если, например, у вас есть последовательность от одного аккорда к другому, оба из которых имеют общую ноту, что ж, не так уж и надуманно оставить эту ноту прежней и изменить другие. Конечно, при желании можно было бы определить и какой-то функционал на наборе аккордов, который потом попытаться минимизировать, и только потом обнаружить, что не надо хаотично прыгать по клавиатуре - но я не совсем понимаю точка там. Использование математики не делает это проще. Просто заметил, что на самом деле это именно то, что Ричард упоминает в своем ответе - так что, как уже говорилось, да, такая теория существует, просто я не считаю ее особенно полезной.

То же самое и с перестановками в смысле количества/каких комбинаций. Не так уж сложно посчитать, скажем, количество мелодий, которые вы можете создать, используя заданное количество нот, ритмических значений, артикуляций, динамики и так далее. Но, если вы не занимаетесь хардкорной последовательной музыкой, где эти паттерны иногда применялись просто механически, это не очень поможет вам в музыкальном плане. (Ладно, сериальная музыка — это еще кое-что. Но это будет грубая общая идея.) Очевидно, что вы также всегда можете просто подсчитать количество возможностей для чего-то, не объединяя это в произведение, но, честно говоря, в чем проблема? музыкальная точка есть? Не обращая внимания на момент, что вам может быть просто любопытно. Конечно, вы можете посчитать количество возможных комбинаций пальцев (в пределах физических ограничений) на вашей гитаре, отрабатывайте каждую из них, затем отрабатывайте все связи между всеми возможностями, и если вы можете делать это с любой скоростью, то, теоретически, вы могли бы сыграть все пьесы. Но вы обнаружите, что есть много книг с техническими упражнениями, которые делают то же самое на основе опыта, уже разобравшись с аккордами, которые вам нужны часто или почти никогда.

Поскольку вы конкретно упомянули исчисление, я хотел бы добавить, что исчисление — это то, что я спонтанно не мог придумать ни для какого приложения к музыке, или только если вы пойдете в обход через физику. Исчисление по определению работает с ограничениями, в основном через дифференцирование и интегрирование, и, поскольку количество нот в основном предполагается дискретным, как и ритм, исчисление кажется очень неуместным. Конечно, вы можете встроить его в композицию, но это, скорее всего, будет что-то очень современно звучащее, и это будет пьеса, в которой вы используете исчисление ради исчисления, а не ради получающейся музыки.

Если вы спросите, можете ли вы «обосновать некоторые понятия математически», это на самом деле немного сложно. В каком-то смысле да, можете. Дело в том, что для того, чтобы обосновать что-либо математически, вам сначала нужны какие-то основные правила, некоторые вещи настолько базовые, что вы просто определяете их как истинные. Это называется аксиомами. Например, одна аксиома, используемая для создания натуральных чисел (1,2,3,...), звучит так: «Каждое натуральное число имеет ровно одного потомка». Если вы не считаете это истинным, то говорить о натуральных числах больше нет смысла, поскольку это утверждение является неотъемлемой частью самого понятия о том, что такое число. Теперь вам понадобятся те же самые вещи для музыки - проблема в том, что вы будете использовать для них?

Конечно, вы могли бы пойти и использовать некоторые основы, скажем, последовательности аккордов. Например, если у вас есть один аккорд, следующий за другим, и в обоих из них есть какие-то ноты, вы не будете прыгать, а просто позволите им продолжаться. Как это обычно бывает в большей части классической музыки - просто, проблема в том, что есть исключения. А математическая теория по своей сути предполагает, что все ваши аксиомы всегда верны . (На случай, если вы слышали о них, позвольте мне оставить здесь все теоремы о неполноте. Они существуют, но не играют роли на том уровне, на котором мы находимся.)

Итак, тогда вам нужно поместить свои исключения на тот же уровень аксиом, которые у вас уже были, поскольку в противном случае они были бы прямым противоречием с ними - в смысле «Утверждение A верно только в том случае, если случай B не применяется», что довольно уродливо, учитывая, что они являются самыми основными, фундаментальными фрагментами, на которых построена ваша теория музыки. И если ваши аксиомы уже подробно рассказывают вам все, что вам нужно знать о теории музыки, ну, тогда не так уж много смысла строить вокруг этого теорию, не так ли?

Кроме того, хотя вы все еще можете это сделать, сильно ли это отличается от общих правил теории музыки? Или, если быть более точным, вы получаете какое-то дополнительное преимущество? Поскольку многие теории построены на том, что «мы делаем это, потому что это, как правило, звучит хорошо», и многое из того, что мы считаем хорошим, зависит от того, что мы привыкли слышать, я не уверен, что пытаюсь найти какое-то общее лежащие в основе математические правила - правильный путь. Если бы вы действительно хотели этого, я полагаю, вам нужно больше углубляться в психологию слушания музыки, то, что мы обычно находим приятным и почему. Но это не то, с чем я был бы хорошо знаком.

TLDR; Вы можете использовать математику, чтобы описать то, что происходит в музыке. Но это, на мой взгляд, не из-за какого-то врожденного сходства музыки с математикой или из-за хитроумно скрытой логики в музыке, а потому, что большая часть математики была создана для описания вещей, и я не нахожу это особенно полезным.

Ричард написал ответ, который я предпочел бы прочитать. Кажется, здесь идет дискуссия о математике и музыке, споры о том, полезна ли связь между этими двумя областями знаний для музыки.

Я всегда слышал поговорку: «Музыка — это математика». Я также читал о применении последовательностей Фибоначчи в гармонии (если я не ошибаюсь), и мне снова стало любопытно. Я также думаю, что перестановки могут помочь написать лучший «Ганон» для гитары, «Ганон» требует опыта, но может также стремиться к полной свободе исполнения музыкальных идей на инструменте, не обусловленном тем, что более естественно играть на грифе гитары. инструмент. Даже такие простые понятия, как «четное и нечетное», могут оказаться полезными при выборе гитары. Поэтому я считаю, что было бы полезно применять некоторые математические концепции в музыке разными способами, от самых простых до более сложных.

Я новичок, правда, но я хочу быть в курсе любых «ключей, которые открываются» в Музыке. Представляете, как звучит «случайность»? Или мы можем музыкально «рисовать» спирали в гармоническом движении? Есть ли воображаемая связь с геометрией? Я знаю, что есть книга Монаха под названием «Симметричная гармония»… разве симметрия не является понятием из геометрии? Если бы все мы шли одним и тем же путем, музыка была бы скучной, но музыка не совсем скучна, если мы пытаемся применить некоторую математику, если она у нас есть в « палитре » или в «мешке с композиторскими техниками». Математика не «убивает» эмоции, я так думаю.

Вот почему у меня такие основные вопросы о перестановках и математическом применении в музыке. Если исчисление - это изучение «изменений и вариаций», предел может выражать даже изгиб струны или скольжение грифа, или эффект в ударном такте, если мы моделируем. Это не совсем Музыка, но в других ситуациях понятия могут быть ближе, и напоследок: исчисление включает в себя арифметику, не используете ли вы какую-то арифметику в музыке?

(извините за любую грамматическую ошибку или неправильное написание)

Одна из вещей, которая смущает математиков, когда они идут изучать музыку, заключается в том, что числа, используемые для описания многих вещей в музыке, используются НЕ так, как их использовал бы математик. Например, нота ровно на семь названий выше, чем другая нота, называется октавой. Поскольку октава означает восемь, для математика это не имеет смысла. Тот же принцип применим ко всем другим интервалам.

Это основное различие между двумя сферами должно быть принято во внимание при ЛЮБОЙ попытке связать их разумным образом.