Сепарабельные гамильтоновы системы в квантовой механике

Question

Сепарабельные гамильтоновы системы в квантовой механике

атомы
Физика
водород
квантовая механика
дифференциальные уравнения

Салмоне

Почему в сепарабельных гамильтоновых задачах полная собственная функция равна произведению отдельных собственных функций, а отдельные гамильтонианы должны коммутировать?

В математике, когда используется метод разделения переменных, например, для некоторых УЧП, предполагается, что полное решение является произведением функций отдельных переменных.

Но почему в квантовой механике отдельные гамильтонианы должны коммутировать друг с другом, чтобы использовать этот метод разрешения?

Я имею в виду, например, случай атома водорода: после замены переменных полный гамильтониан можно записать как сумму двух коммутирующих друг с другом гамильтонианов и собственной функции атома $H$ является произведением отдельных собственных функций.

В этом случае (относительный координатный гамильтониан трехмерного атома водорода в сферических координатах) в моей книге только говорится: «Поскольку центральный гамильтониан коммутирует с $L^2$ и $L_z$ , мы можем записать решения ТИСЭ в виде: $\psi(r,\theta,\phi)=F(\theta,\phi)R(r)."$

Ответы (2)

Сепарабельные гамильтоновы системы в квантовой механике

Зак · Answer 1

Я думаю, что другой ответ (по крайней мере, частично) ошибочен. Позвольте мне сначала ответить на ваш вопрос, а затем объяснить, почему у меня есть проблемы с другим ответом.

Предположим, у вас есть гамильтониан вида $H = H_1 + H_2$ , где $[H_1, H_2] = 0$ . Затем, поскольку $H_1$ и $H_2$ коммутируют, их можно одновременно диагонализовать. То есть существует собственный базис вида $| \varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle$ где $H_1 | \varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle = \varepsilon_1 | \varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle$ и $H_2 | \varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle = \varepsilon_2 |\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle$ . Произвольное состояние в вашем гильбертовом пространстве можно записать в виде

| ψ ⟩ "=" \sum_{ε_{1}, ε_{2}} с_{ε_{1}, ε_{2}} | ε_{1}, ε_{2} ⟩,

$| \psi \rangle = \sum_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} c_{\varepsilon_1,\varepsilon_2} |\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rangle ,$ но если ваша цель состоит только в том, чтобы найти собственные состояния энергии, вам разрешено предположить, что вы работаете в общем собственном состоянии

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ в отдельности. Это полный ответ на ваш вопрос. Обратите внимание, что если

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ не коммутировали, то не существовало бы общего собственного базиса, и было бы невозможно разложить вашу волновую функцию на множители.

Теперь проблема с другим ответом: нет причин предполагать, что $H_1$ и $H_2$ имеют структуру тензорного произведения . Разделение переменных работает, даже если гамильтониан НЕ имеет вид $H = H_1 \otimes 1 + 1 \otimes H_2$ . Разница в том, что когда $H$ имеет эту структуру тензорного произведения, собственные значения $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ можно выбрать самостоятельно, но это не обязательно; на самом деле, это не так для атома водорода!! В атоме водорода разрешенные квантовые числа $(n,\ell,m)$ не могут быть выбраны все независимо друг от друга, например $\ell$ не допускается превышение $n$ . Это указывает на тот факт, что, хотя гамильтониан распадается на две коммутирующие части, он не имеет структуры тензорного произведения, указанной в другом ответе.

Спасибо, но я не понял предложения «если ваша цель состоит только в том, чтобы найти собственные состояния энергии, вам разрешено предположить, что вы работаете в общем собственном состоянии H1 и H2 по отдельности». почему в этом случае я могу факторизовать свою волновую функцию, которая будет произведением автофункции $H_1$ раз $H_2$
Строго говоря, это не так. В качестве тривиального примера рассмотрим глупый гамильтониан вида $H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + ( \frac{\vec{p}^2}{2m} )^2$ . Это сумма двух коммутирующих членов, но собственные состояния энергии не являются произведениями собственных состояний двух, это просто обычные собственные состояния свободных частиц.
@ Зак, два гамильтониана должны затем коммутировать, чтобы выполнялось необходимое условие существования набора общих собственных функций?
Позвольте мне сформулировать исходный вопрос поста и мой ответ рядом друг с другом, чтобы логика была ясна. Вопрос: «По заданному гамильтониану $H = H_1 + H_2$ , я хотел бы найти одновременный собственный базис $H_1$ и $H_2$ используя разделение переменных. Почему должен $H_1$ и $H_2$ коммутировать?» Ответ: «Потому что можно найти только одновременный собственный базис $H_1$ и $H_2$ если они ездят».
@Zack Итак, дело в том, что мне не нужно, чтобы H1 и H2 коммутировали, чтобы применить метод разделения переменных, мне нужно, чтобы H1 и H2 коммутировали, потому что я хочу найти одновременную собственную базу H1 и H2. Если я хочу использовать только метод разделения переменных (и я не ищу одновременный собственный базис), мне просто нужно «разделить» полное дифференциальное уравнение на отдельные части, каждая из которых содержит только одну переменную, я не возражаю, если они коммутируют, а затем ищут функцию полного решения, которая является произведением отдельных функций. Я прав?

Иван Бурбано · Answer 2

Я думаю, что это ошибка на языке учебника. Важно то, что гамильтониан распадается на радиальную и угловую части. $H=H_r+H_\Omega$ таким образом, что для сепарабельных волновых функций $\psi(r,\Omega)=F(\Omega)R(r)$

{ЧАС}_{р} (ψ) "=" Ф {ЧАС}_{р} (р) и {ЧАС}_{Ом} (ψ) "=" {ЧАС}_{Ом} (Ф) р .

$H_r(\psi)=FH_r(R)\text{ and } H_\Omega(\psi)=H_\Omega(F)R.$ В частности, это означает, что два гамильтониана коммутируют. Однако обратное неверно.

Для этого хорошо подходит математический язык тензорных произведений. Что сделано в атоме водорода, так это найти разложение гильбертова пространства в тензорное произведение $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ в котором гамильтониан разлагается во что-то вида $H=H_1\otimes \mathbb{1}_2+\mathbb{1}_1\otimes H_2$ . Тогда базис собственных векторов $H$ можно найти, взяв тензорное произведение собственных векторов $H_1$ и собственные векторы $H_2$ . Это побочное замечание, что $H_1\otimes \mathbb{1}_2$ и $\mathbb{1}_1\otimes H_2$ коммутируют, и, конечно, тот факт, что они коммутируют, не гарантирует заранее структуру тензорного произведения. Например, есть коммутирующие операторы в $\mathbb{C}^3$ но последний не допускает нетривиального тензорного разложения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что размерность тензорного произведения — это произведение размерностей его множителей, а 3 — простое число.

Прошу прощения, но, возможно, я неправильно поставил вопрос. Почему если центральный гамильтониан коммутирует с $L^2$ и $L_z$ то полную волновую функцию можно записать в виде произведения радиальной и угловой частей?
Что мой ответ пытается передать, так это то, что это не потому, что центральный гамильтониан коммутирует с $L^2$ и $L_z$ что волновые функции могут быть записаны таким образом. Вместо этого это происходит потому, что гамильтониан распадается на часть, которая включает только $r$ и часть, которая включает только угловые переменные.
Это тоже то, что я написал в своих заметках, но я не понимаю, почему. Может быть, моя книга говорит о коммутаторах, потому что если $H$ $L^2$ и $L_z$ коммутируют, они имеют общую базу собственных векторов.
Давайте продолжим этот разговор в чате chat.stackexchange.com/rooms/133216/…
Иван, я считаю, что ваш ответ ошибочен - см. мой ответ.
@IvanBurbano спасибо за беседу, но для меня было уже поздно.

Сепарабельные гамильтоновы системы в квантовой механике

Салмоне

Ответы (2)

Зак

Иван Бурбано

Салмоне

Зак

Салмоне

Зак

Салмоне

Иван Бурбано

Салмоне

Иван Бурбано

Салмоне

Иван Бурбано

Зак

Салмоне

Атом водорода: потенциальная яма и радиусы орбит

Что такое независимые параметры в теореме Хеллмана–Фейнмана?

Почему при применении уравнения Шрёдингера предполагается, что протон всегда находится в центре?

Каковы граничные условия для атома водорода, которые вызывают необходимость прекращения полярного ряда мощности?

Нил де Грасс Тайсон говорит, что электроны «телепортируются» между энергетическими уровнями?

Как мы можем описать электроны многоэлектронных атомов (т.е. не водорода), если уравнения/аналитические решения существуют только для водорода?

В чем разница между двумя атомами водорода?

Бессель против модифицированного Бесселя в радиальном уравнении водорода

Симметрии дифференциального уравнения, его решения и атом водорода

Докажите, что электрон в атоме водорода не излучает [дубликат]