Почему при применении уравнения Шрёдингера предполагается, что протон всегда находится в центре?

Существует строгий формальный анализ, который позволяет это сделать. Истинная проблема, конечно, позволяет двигаться и протону, и электрону. Таким образом, соответствующее уравнение Шредингера имеет координаты обоих в качестве переменных. Для упрощения эти переменные обычно преобразуются в относительное расстояние и положение центра масс. Оказывается, тогда задача распадается (для центральной силы) на уравнение «стационарного протона» и уравнение свободной частицы для ЦМ.

За это приходится платить небольшую цену: масса движения центра масс равна полной массе, как и следовало ожидать, но радиальное уравнение имеет массу, заданную приведенной массой .

$$\mu=\frac {Mm}{M+m}=\frac{m}{1+m/M} ,$$ что близко к массе электрона $m$так как масса протона $M$намного больше.

Важно отметить, что точно такое же разделение справедливо и для классической трактовки проблемы Кеплера .

Что касается самовзаимодействий, с ними очень трудно иметь дело, не прибегая к полному механизму квантовой электродинамики. К счастью, в низкоэнергетических пределах, где могут образовываться атомы водорода, оказывается, что ими можно полностью пренебречь.

Я предполагаю, что вы говорите об атоме водорода; гамильтониан системы ядро ​​+ электрон равен

$$H = \frac{p_e^2}{2 m _e} + \frac{p_n^2}{2 m _n} - \frac{e^2}{|r_e - r_n|}.$$ Вы можете сделать изменение координат (координаты центра масс) $$\vec{R} = \frac{m_e \vec{r}_e + m_n \vec{r}_n}{m_e+m_n} \\ \vec{r} = r_e -r_n$$ и найти сопряженные импульсы к этим координатам: $$\vec{P} = \vec{p}_e + \vec{p}_n \\ \vec{p} = \frac{m_n \vec{p}_e - m_e \vec{p}_n}{m_e+m_n}.$$ Определение также приведенной массы $\mu$такой, что $$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_n}$$ и общая масса $M = m_e + m_n$, вы можете записать гамильтониан атома водорода как $$H = \frac{P^2}{2 M} + \frac{p^2}{2 \mu} - \frac{e^2}{r} = H_{CM} + H_{rel}.$$ В этих расчетах я всегда рассматривал ядро ​​как квантовую частицу; но если вы посмотрите на $H_{rel} = p^2/2\mu - e^2/r$и пусть масса ядра стремится к бесконечности, вы получаете гамильтониан атома водорода, который обычно преподается на базовых курсах квантовой механики. уравнение Дирака.

Что касается вашего первого вопроса:

Аналогичный (тот же самый?) вопрос, который вы могли бы разумно задать: как мы можем предположить, что протон неподвижен, находится в центре проблемы, если он наверняка будет притягиваться к электрону и немного покачиваться? Это вопрос, который был бы так же актуален для классической системы — скажем, планеты, вращающейся вокруг звезды, — как и для квантово-механической.

Решение этой проблемы такое же, как описано выше другими: тот факт, что звезда/протон намного массивнее планеты/электрона, означает, что она будет двигаться очень мало (ускорение объекта обратно пропорционально его массе). , и, следовательно, при большой массе мы имеем очень малое ускорение, т. е. очень небольшое движение), и поэтому стационарная природа звезды/протона является большим приближением. И действительно, мы можем сделать анализ совершенно строгим, имея дело с относительными расстояниями и приведенными массами. Но конечная масса протона означает, что на самом деле протон не будет неподвижным.

Однако я не уверен, что вы задаете именно этот вопрос. Вас беспокоило не «не является ли протон частицей конечной массы», а скорее «не является ли он квантовой частицей». Предположение состоит в том, что вы думаете, что протон должен колебаться из-за своей квантово-механической природы --- то есть из-за принципа неопределенности и т. д. --- независимо от массы протона (возможно, я ошибаюсь в этом).

В пределе протона, имеющего бесконечно большую массу, чем электрон, квантово-механическая природа протона не заставит его раскачиваться. Другими словами, неуверенность в своем положении,$\Delta x$, можно сделать сколь угодно близким к нулю. Это согласуется с принципом неопределенности, поскольку его импульс$p$(масса x скорость) может стремиться к бесконечности в пределе бесконечно массивного протона. Следовательно, мы все еще можем достичь

$$\Delta p \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}$$

со сколь угодно малой скоростью и неопределенностью положения, если мы сделаем массу сколь угодно большой.

Другими словами, в предположении, что мы пренебрегаем движением протона из-за его притяжения к электрону, мы также можем пренебречь движением протона из-за квантово-механических эффектов.

Реальность, конечно, такова, что протон будет колебаться — он будет немного колебаться из-за своей внутренней квантово-механической природы, и он будет колебаться немного больше из-за силы притяжения электрона. Однако с этим можно строго разобраться, как и раньше, используя относительные разделения и приведенные массы.