Бессель против модифицированного Бесселя в радиальном уравнении водорода

Question

Бессель против модифицированного Бесселя в радиальном уравнении водорода

Физика
водород
квантовая механика
дифференциальные уравнения

Алексвас

Я пытаюсь понять разницу между функциями Бесселя и модифицированными функциями Бесселя (просто гугление дает сложные, неинтуитивные ответы). У меня сложилось впечатление, что один допускал сложный параметр, а другой нет - это правда?

Мой вопрос связан с попыткой понять радиальную часть собственной проблемы водорода (с $u = rR(r)$ ):

\frac{г^{2} ты}{г р^{2}} "=" [\frac{л (л + 1)}{р^{2}} - к] ты (р)

$\frac{d^2u}{dr^2} = \left[ \frac{l(l+1)}{r^2} - k\right] u(r)$

которая решается линейной комбинацией сферических функций Бесселя и функций Неймана:

ты (р) "=" А р {Дж}_{л} (к р) + Б р н_{л} (к р)

$u(r) = Ar j_l(kr) + Brn_l(kr)$

Справедливо ли это решение как для действительного, так и для мнимого $k$ ?

Для справки, эта линейная комбинация взята из книги Гриффитса «Введение в квантовую механику» , уравнение 4.45.

Ответы (4)

Бессель против модифицированного Бесселя в радиальном уравнении водорода

Майкл · Answer 1

Обычные функции Бесселя прекрасно определены для сложных аргументов. Например, вот сюжет $\Re[J_2(x + i y)]$ :

введите описание изображения здесь

Отличие обычной и модифицированной функций Бесселя в том, что они удовлетворяют разным уравнениям:

г^{2} у^{″} + г у^{'} + (г^{2} - н^{2}) у "=" 0,

$z^2 y'' + z y' + (z^2 - n^2) y = 0,$

для обычных функций Бесселя и

г^{2} у^{″} + г у^{'} - (г^{2} + н^{2}) у "=" 0,

$z^2 y'' + z y' - (z^2 + n^2) y = 0,$

для модифицированных функций Бесселя.

Обратите внимание, что между ними существует связь:

{Дж}_{ν} (г) "=" \frac{г^{ν} я_{ν} (я г)}{(я г)^{ν}}

$J_{\nu }(z)=\frac{z^{\nu } I_{\nu }(i z)}{(i z)^{\nu }}$

с подобными идентичностями, идущими в другую сторону. Все очень похоже на отношения между триггерными функциями $\sin(z),\cos(z)$ с гиперболическими функциями $\sinh(z),\cosh(z)$ .

Марти Грин · Answer 2

Если вы хотите узнать, что на самом деле представляет собой функция Бесселя, представьте себе 360 человек, стоящих на круге диаметром более 100 метров и поющих одну и ту же ноту лямда < 1 метра. Вблизи центра круга будет 100 плоских волн, сходящихся по фазе, а функция радиальной амплитуды будет функцией Бесселя нулевого порядка J_0. Если вы хотите увидеть J_1, пусть каждый певец последовательно задерживает фазу своей ноты на один градус по мере того, как вы двигаетесь по кругу, чтобы, пройдя весь круг, вы снова возвращались в фазу: радиальная амплитуда будет J_1 вдоль линия первого певца, и ноль вдоль линии, соединяющей певца 90 с певцом 270. Аналогично, задержите фазу на 2 градуса на певца, и вы получите J_2 с двумя узловыми линиями и т. д.

себ · Answer 3

Если вы планируете идти по этому пути, я бы посоветовал вам приобрести экземпляр книги Arfken: Mathematical Methods for Physicists. Там (глава 14.5, 7-е издание) разница объясняется подробно.

Вы используете модифицированное уравнение Бесселя и его решения (модифицированные функции Бесселя), когда работаете в цилиндрических координатах. Чтобы перейти к модифицированному уравнению Бесселя, вы разделяете уравнение(я) Лапласа (или Гельмгольца) в цилиндрических координатах и получаете (в какой-то момент) изменение знака, упомянутое Майклом.

Это изменение знака очень важно, потому что оно меняет поведение решений модифицированного уравнения Бесселя (по сравнению с решениями (немодифицированного) уравнения Бесселя). Решения модифицированного уравнения Бесселя (т.е. модифицированные функции Бесселя ) НЕ являются колебательными. И они демонстрируют экспоненциальное поведение.

Пол Квейв · Answer 4

Проще говоря: функции Бесселя являются колебательными. Модифицированные функции Бесселя монотонны (и выглядят как огибающие функций Бесселя).

Они ОБА вытекают из ОДНОГО дифференциального уравнения. Модифицированное уравнение Бесселя — это то же самое, что и уравнение Бесселя, но с чисто мнимым аргументом.

Уравнение Бесселя:

г^{2} \frac{г^{2} ты}{г г^{2}} + г \frac{г ты}{г г} + (г^{2} - н^{2}) ты "=" 0

$z^2 \frac{d^2u}{dz^2} + z \frac{du}{dz} + (z^2 - n^2) u = 0$ С такими решениями, как

J_{n} (z)

$J_n(z)$ (затухающее колебательное решение), или

Y_{n} (z)

$Y_n(z)$ (растущее колебательное решение)

Теперь замените $z = ix$ и вы получите модифицированное уравнение Бесселя:

{Икс}^{2} \frac{г^{2} ты}{г {Икс}^{2}} + Икс \frac{г ты}{г Икс} - ({Икс}^{2} + н^{2}) ты "=" 0

$x^2 \frac{d^2u}{dx^2} + x \frac{du}{dx} - (x^2 + n^2) u = 0$ Здесь

J_{n} (i x)

$J_n(ix)$ также является решением, но принимает действительные или мнимые значения в зависимости от

n

$n$ (реально даже для

n

$n$ , мнимый для нечетного

n

$n$ ). Чтобы избежать этого неудобства, модифицированная функция Бесселя

я_{н} (Икс) "=" е^{- н я π / 2} {Дж}_{н} (я Икс)

$I_n(x) = e^{-ni\pi/2}J_n(ix)$ вводится, что реально независимо от значения

n

$n$ .

$I_n$ является растущим, монотонным решением, в то время как $K_n$ является затухающим, монотонным решением.

В вашем случае наличие мнимого аргумента в вашем решении не является проблемой с точки зрения функции, но остерегайтесь осложнений, связанных с функцией Бесселя со сложным аргументом, потому что она может стать реальной/мнимой в зависимости от значений $l$ .

Бессель против модифицированного Бесселя в радиальном уравнении водорода

Алексвас

Ответы (4)

Майкл

Марти Грин

себ

Пол Квейв

Каковы граничные условия для атома водорода, которые вызывают необходимость прекращения полярного ряда мощности?

Симметрии дифференциального уравнения, его решения и атом водорода

Сепарабельные гамильтоновы системы в квантовой механике

Можно ли решить уравнение Шредингера для дейтерия?

Значение углового момента в квантовой механике

магнитный момент протона

Вычисление термина Дарвина для водорода

Отношение орбиталей Водорода к его спектральному ряду?

Атом водорода: потенциальная яма и радиусы орбит

Каков физический смысл интеграла перекрытия?