Каковы граничные условия для атома водорода, которые вызывают необходимость прекращения полярного ряда мощности?

Вместо того, чтобы расширяться в серии вокруг$x=0$, вам больше повезет с серией вокруг$x=1$. Тогда вы получите

Тогда радиус сходимости этого ряда (если он не обрывается) равен

Единственные две особые точки, которые имеет решаемое нами уравнение, — это обычные особые точки при$x=\pm1$. Поскольку мы расширяемся в серии Тейлора вокруг$x=1$, наше решение будет аналитическим в этой точке. Но ограниченный радиус сходимости ряда Тейлора означает, что где-то есть сингулярность. В самом деле, у нас все еще есть другая особая точка в$x=-1$. Это как раз та точка сингулярности, за которой ряд расходится, если только он не обрывается.

Но OTOH мы знаем из симметрии задачи (инвариантность гамильтониана относительно$z$-инверсия), что$P(-x)=\pm P(x)$, т.е.$P$либо четно, либо нечетно. Как$P$является аналитическим в$x=1$по построению следует, что она должна быть аналитической и в$x=-1$.

Затем для этого требуется, чтобы ряд завершался, поэтому аналитичность является граничным условием, которое вы ищете.

Проблема нахождения или обоснования правильных граничных условий для уравнения Шрёдингера (или для обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся в результате его факторизации) — бесконечная история. Такие причины, как « волновые функции должны быть непрерывными », «$\psi$не может расходиться » или « оно должно стремиться к нулю, потому что мы ожидаем, что вероятность нулевой вероятности » обычно содержат половину правды, но упускают из виду реальную суть и не могут выйти за рамки аргументов, основанных на размахивании руками.

Вероятностная интерпретация требует только того, что для задачи, заданной в области$D$в$\mathbb{R}^n$,$|\psi|^2$была бы интегрируемой, т. е. принадлежала бы гильбертовому пространству$L_2(D)$. В$L_2(D)$многие элементы даже не являются непрерывными и могут расходиться при условии, что их квадратный модуль остается интегрируемым.

Условием, которое накладывает действительно сильное ограничение на волновые функции, является дополнительное требование находиться в области самосопряженного оператора. Для дифференциальных операторов самосопряженность является достаточно сильным условием. Конечно, дифференциальная природа оператора требует ограничить область определения подмножеством дифференцируемых элементов оператора.$L_2(D)$. Но именно требование самосопряженности обеспечивает реальные ограничения на граничные условия. Так, например, обращение в нуль волновой функции на границе для бесконечной квадратной ямы или условия непрерывности для конечного ступенчатого постоянного потенциала — все это можно найти и обосновать как условие, обеспечивающее правильную область, в которой импульс и/или гамильтоновы операторы самосопряжены.

Случай углового момента ничем не отличается. Условие «периодичности»$\phi$зависимость волновой функции, представленной в сферической координате, снова является следствием ограничения элементами подмножества дифференцируемой функции на$L_2[0,2 \pi]$где z-компонента$\hat L_z$углового момента является самосопряженным.

Наконец, также$\hat L_x$и$\hat L_y$, а потом$\hat L^2$наложить ограничение на граничные условия на$\theta$, всегда как следствие требования самосопряженности. Оказывается (это упражнение по интегрированию по частям), что логарифмическая расходимость волновой функции при$\theta=0$и в$\theta=2 \pi$(в результате значения A, которое не прерывает ряд после конечного числа членов), хотя и совместимо с интегрируемостью квадратного модуля на интервале$[0,2 \pi]$, не будет совместим с доменом, в котором$\hat L^2$является самосопряженным.

О причинах и важности самосопряженности для операторов QM я могу положиться на две ссылки здесь, на SE: ​​Почему квантовая механика не довольствуется симметричными операторами, а хочет самосопряженных операторов? и Что именно влечет за собой потребность квантовой механики в самосопряженных, а не только симметричных операторах?

Доказывать ничего не собираюсь, но надеюсь привести разумный аргумент. Предположим, что серия не заканчивается. Что происходит для больших$n$?

Ну, из вашей рекурсии мы получаем

Прохладный. Таким образом, коэффициенты становятся едиными. Затем мы можем дать приближенное решение только для больших степеней с помощью обычного геометрического ряда:

Но затем подумайте о том, что должно делать ваше решение. Это волновая функция, верно? Поэтому он должен быть нормализуемым, т.е.

А вот вот это примерное решение мы нашли. Что мы получаем?

Что явно расходится. Таким образом, ряд должен закончиться в какой-то момент и$A=l(l+1)$для некоторого натурального числа$l$. И это также фиксирует четность показателей в многочлене, так как$l(l+1)$может обнулить только одну четность коэффициентов, а другая должна быть нулевой с самого начала.

Причина, по которой он должен прекратиться, заключается буквально в физике . Математически дифференциальное уравнение Лежандра имеет два типа решений. Решения типа 1, названные$P_\ell(x)$, которые конечны при$x=\pm 1$и типа 2, обозначаемый$Q_\ell(x)$, которые взрываются в$x=\pm 1$. Поэтому физически мы должны потребовать, чтобы наше решение было конечным при$x=\cos\theta=\pm 1$потому что она должна представлять не только нормализуемую функцию, но и ограниченную функцию в проблемной области (в данном случае$[-1,1]$), так что мы можем дать его значениям вероятностную интерпретацию. Теперь, как увидеть это из уравнения.

Изучите два случая.

Дело 1:$A=\ell(\ell +1)$для$\ell$целое число. В этом случае, как показывает ваша формула рекурсии, коэффициент$a_{\ell+2}$исчезнет, ​​а остальные с этого момента будут равны нулю. Приведение к полиномам Лежандра первого рода.

Случай 2:$A\neq\ell(\ell +1)$. Можно изучить радиус сходимости ряда, взяв предел отношения между коэффициентами