Шаг в выводе магнитного момента электрона в книге Зи по КТП.

В главе III.6 своей книги « Квантовая теория поля в двух словах » А. Зи намеревается вывести магнитный момент электрона в квантовой электродинамике. Он начинает с замены в уравнении Дирака производной$\partial_\mu$по ковариантной производной$D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu$, где$A_\mu$представляет собой (классическое) внешнее электромагнитное поле. У нас есть

$$(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi ~=~ 0.$$ Отсюда он исходит $$\left(D_\mu D^\mu - \frac{e}{2} \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu} + m^2\right) \psi~=~ 0,$$ где, как обычно, $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$и $\sigma^{\mu \nu}$являются коммутаторами Дирака $\gamma$матрицы: $$\sigma^{\mu \nu}=\frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu].$$

Моя проблема связана с кажущимся простым шагом, который Зи использует при выводе. Он утверждает, что

$$(i/2) \sigma^{\mu \nu}[D_\mu, D_\nu] = (e/2) \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu}.$$ Однако я получаю $$[D_\mu, D_\nu] = -ie\partial_\mu A_\nu + ie\partial_\nu A_\mu -ieA_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu = -ieF_{\mu\nu} -ie A_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu,$$ но сейчас я не понимаю, почему последние два члена исчезают при умножении на $\sigma^{\mu \nu}$. Я даже пытался использовать явные выражения для $\sigma^{\mu \nu}$и получил ненулевое значение. У меня такое чувство, что мне не хватает чего-то действительно простого здесь. Кто-нибудь видит, что я сделал не так?