Силы Казимира и связанный с ними пропагатор Фейнмана

Question

Силы Казимира и связанный с ними пропагатор Фейнмана

Физика
распространитель
интеграл по путям
эффект казимира
квантовая теория поля

пользователь35952

Это продолжение моего предыдущего вопроса , в котором я начал попытку решить задачу о силе Казимира с помощью интегралов по путям. Как один из ответов , я предлагаю решить пропагатор Фейнмана с учетом граничных условий $x=0$ и $x=L$ на границах плит. Уравнение для пропагатора Фейнмана:

(◻^{2} + м^{2}) Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) "=" - дельта (Икс - {Икс}^{'})

$(\Box^2+m^2)\Delta_F(x-x') = -\delta(x-x')$

Решение для свободного поля есть

Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п_{мю} ({Икс}^{мю} - {Икс}^{' мю})}}{п^{2} - м^{2} + я ϵ}

$\Delta_F(x-x') = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip_{\mu}(x^{\mu}-x'^{\mu})}}{p^2-m^2+i\epsilon}$

Какими должны быть граничные условия, которые я должен точно наложить?

Наложение граничного условия означало бы, я думаю, что нам, возможно, придется ввести новую функцию (я не прав, но в целом это верно для функции Грина, я думаю)

Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) \to Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) + Ф (Икс - {Икс}^{'})

$\Delta_F(x-x') \rightarrow \Delta_F(x-x') + F(x-x')$

где $F(x-x')$ такова, что удовлетворяет граничному условию.

Теперь мой вопрос: в случае, если у меня есть граничное условие (как показано ниже), как мне решить дифференциальное уравнение для таких граничных условий, как (взять пластины на $z=0$ и $z=L$ )

Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) |_{г "=" 0} "=" Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) |_{г "=" л} "=" 0

$\Delta_F(x-x')\bigg|_{z=0} = \Delta_F(x-x')\bigg|_{z=L} = 0$

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Мне просто пришло в голову, что может быть короткий путь к этой проблеме с некоторыми концептуальными рассуждениями, я попробовал.

Учитывая область между пластинами, я знаю, что импульс квантуется в направлении z, поэтому я (что в некотором смысле определяется граничными условиями)

п_{г} "=" \frac{н π}{л}

$p_z = \frac{n\pi}{L}$ Теперь, используя пропагатор Фейнмана в импульсном представлении, которое

{\tilde{Δ}}_{Ф} (п) "=" \frac{1}{(п^{0})^{2} - (п^{2} + м^{2}) + я ϵ}

$\widetilde\Delta_F(p) = \frac{1}{(p^0)^2-(\textbf p^2+m^2)+i\epsilon}$

В этом я могу заменить, $p_z$ , что даст мне

{\tilde{Δ}}_{Ф} (п) "=" \frac{1}{(п^{0})^{2} - (п_{Икс}^{2} + п_{у}^{2} + (\frac{н π}{л})^{2}) + м^{2}) + я ϵ}

$\widetilde\Delta_F(p) = \frac{1}{(p^0)^2-(p_x^2+p_y^2+\Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2)+m^2)+i\epsilon}$

Теперь я могу вернуться к представлению положения, но с интегралом по $p_z$ заменяется суммой свыше $n$ . Правильно ли я делаю эту процедуру?

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Следуя процедуре, которую я упомянул, для простого (1 + 1) случая пропагатора Фейнмана в позиционном представлении у меня есть

Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} \int \frac{г п_{0}}{(2 π)^{2}} \frac{е^{я п_{0} ({Икс}^{0} - {Икс}^{' 0})} е^{я \frac{н π}{л} (г - г^{'})}}{(п^{0})^{2} - ((\frac{н π}{л})^{2} + м^{2})}

$\Delta_F(x-x') = \sum_{n=1}^\infty\int\frac{dp_0}{(2\pi)^2}\frac{e^{ip_0(x^0-x'^0)}e^{i\frac{n\pi}{L}(z-z')}}{(p^0)^2-\big(\big(\frac{n\pi}{L}\big)^2+m^2\big)}$

РЕДАКТИРОВАТЬ 3:

Тр бревно Δ "=" - \sum_{н} \int г п_{0} бревно (п_{0}^{2} - (\frac{н π}{л})^{2} + м^{2})

$\text{Tr}\log{\Delta} = - \sum_n \int dp_0 \log{\bigg(p_0^2 - \bigg(\frac{n\pi}{L}\bigg)^2 + m^2\bigg)}$

Но этот термин, кажется, расходится, как можно получить отсечение в контексте этой проблемы. (Отсечка для $p_0$ интеграл тоже нужен, я думаю).

Адам

Я думаю, вы на правильном пути. Теперь вам нужно вычислить энергию вакуума с помощью этого пропагатора.

пользователь35952

@ Адам: В этом случае энергию вакуума можно рассчитать из члена первого порядка в

Z [J]

$Z[J]$ , который дается

(я \int г^{4} Икс г^{4} {Икс}^{'} Дж ({Икс}^{'}) Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) Дж (Икс)) (1)

$\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1)$ с заменой источников как дельта-функции?

Адам

Нет. Энергия вакуума определяется выражением

\frac{1}{2} T r \log Δ

$\frac{1}{2}Tr\log\Delta$ . Это можно вычислить путем дифференцирования по

m^{2}

$m^2$ , выполняя интеграл по импульсам, интегрируя по

m^{2}

$m^2$ (с граничным условием обращения интеграла в нуль при

m^{2} \to \infty

$m^2\to\infty$ ).

пользователь35952

А как насчет безмассового скалярного поля?

Адам

Тогда вычисления должны быть почти такими же, как и для фотонов.

пользователь35952

Извините, я еще не работал с векторными полями. Я понятия не имею, как идти с этим дальше

Адам

Если вы делаете расчет с конечным

m

$m$ , то можно получить дело

m = 0

$m=0$ .

пользователь35952

А как насчет пространственной зависимости

Δ_{F}

$\Delta_F$ , кажется, что это не будет устранено. Но энергия вакуума не зависит от пространства, верно? Извините, я тоже не могу понять, зачем делать это разграничение по

m^{2}

$m^2$ а затем поставить граничное условие. Спасибо за ваши ответы :)

Адам

След не зависит от базиса (положения или импульса). Проще это сделать в импульсном пространстве. Просто сделайте этот расчет журнала трассировки так, как вы хотите.

Ответы (2)

Силы Казимира и связанный с ними пропагатор Фейнмана

Я думаю, вы на правильном пути. Теперь вам нужно вычислить энергию вакуума с помощью этого пропагатора.
@ Адам: В этом случае энергию вакуума можно рассчитать из члена первого порядка в $Z[J]$ , который дается $(я \int г^{4} Икс г^{4} {Икс}^{'} Дж ({Икс}^{'}) Δ_{Ф} (Икс - {Икс}^{'}) Дж (Икс)) (1)$ $\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1)$ с заменой источников как дельта-функции?
Нет. Энергия вакуума определяется выражением $\frac{1}{2}Tr\log\Delta$ . Это можно вычислить путем дифференцирования по $m^2$ , выполняя интеграл по импульсам, интегрируя по $m^2$ (с граничным условием обращения интеграла в нуль при $m^2\to\infty$ ).
А как насчет безмассового скалярного поля?
Тогда вычисления должны быть почти такими же, как и для фотонов.
Извините, я еще не работал с векторными полями. Я понятия не имею, как идти с этим дальше
Если вы делаете расчет с конечным $m$ , то можно получить дело $m=0$ .
А как насчет пространственной зависимости $\Delta_F$ , кажется, что это не будет устранено. Но энергия вакуума не зависит от пространства, верно? Извините, я тоже не могу понять, зачем делать это разграничение по $m^2$ а затем поставить граничное условие. Спасибо за ваши ответы :)
След не зависит от базиса (положения или импульса). Проще это сделать в импульсном пространстве. Просто сделайте этот расчет журнала трассировки так, как вы хотите.

Куан Ле Тьен Минь · Answer 1

Из вашего редактирования 3 я думаю, что вам нужно сделать вычитание свободной энергии без пластин, а именно

Тр бревно Δ - Тр бревно Δ_{ф р е е}

$\text{Tr} \log \Delta - \text{Tr} \log \Delta_{free}$

Эта разница должна дать конечный ответ. Физический смысл ясен: запасенная в вакууме энергия, очевидно, расходится из-за $\frac{1}{2}\hbar \omega$ член в нулевой энергии из канонического подхода. Что наблюдается, так это сдвиг энергии вакуума из-за взаимодействия, которое в вашем формализме обозначается граничным условием.

Омар Азуз · Answer 2

Вы можете просто рассчитать модификацию пропагатора из-за сил Казимира, оценив одну петлевую диаграмму Фейнмана или в любом порядке, просто поставив соответствующие источники тока. Считается, что силы Казимира возникают из-за виртуального рождения и аннигиляции виртуальных частиц в фотонном пропагаторе.

Силы Казимира и связанный с ними пропагатор Фейнмана

пользователь35952

Адам

пользователь35952

Адам

пользователь35952

Адам

пользователь35952

Адам

пользователь35952

Адам

Ответы (2)

Куан Ле Тьен Минь

Омар Азуз

Амплитуда перехода от вакуума к вакууму с использованием функционального интеграла

Интегрирование по калибровочному полю в абелевой теории Черна-Саймонса в формализме полевых интегралов

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Реальна ли энергия нулевой точки?

Расчет Tr[logΔF]Tr[log⁡ΔF]\mathrm{Tr}[\log \Delta_F]

Пропагатор Фейнмана для фотонов и фактическое распространение фотонов

Уравнение Швингера-Дайсона для поля Клейна-Гордона

Фотонный пропагатор в интеграле по путям

Пропагаторы, функции Грина, континуальные интегралы и амплитуды переходов в квантовой механике и квантовой теории поля

Пропагатор из интеграла по путям