Пропагатор из интеграла по путям

Вы правы в том, что пропагатор Фейнмана для спинорного поля действительно$(i \gamma^\mu D_\mu - m)^{-1}$. Сложная часть интерпретирует именно то, что означает «обратное». Это не просто означает, что вы инвертируете гамма-матрицы (хотя вы это делаете). Оператор производной также инвертируется. То есть, если мы определим функцию$G(y, x) := (i \gamma^\mu D_\mu - m)^{-1}$, затем

$$\int d^4x\, G(y, x)\, f(x) = g(y) \implies (i \gamma^\mu D_\mu - m) g(x) = f(x).$$

Это может помочь подумать о$G(x, y)$как матрица (поскольку она имеет два «индекса»$x$и$y$) и$f(x)$как вектор (поскольку он имеет один «индекс»$x$). Тогда интегрирование по$x$похоже на умножение матриц, и$G(y, x)$похожа на матрицу, обратную бесконечномерной ( не 4x4 ) "матрице"$(i \gamma^\mu D_\mu - m)$.

Из этого не должно быть слишком сложно увидеть, что

$$(i \gamma^\mu D_\mu - m)\, G(x, y) = \delta^4(x - y). \qquad \qquad (1)$$ Поэтому, когда мы говорим, что $G$является «обратным» $(i \gamma^\mu D_\mu - m)$, мы имеем в виду, что это функция Грина для дифференциального оператора, а не просто матрица, обратная гамма-матрицам. Теперь мы используем трансляционную инвариантность, чтобы понять, что $G(x, y)$на самом деле зависит только от одного аргумента $x - y$. Если мы преобразуем Фурье обе части, интеграл по $x$превращает это в свертку $(i \gamma^\mu D_\mu - m)$и $G$. Преобразование Фурье свертки - это просто произведение преобразований Фурье, поэтому преобразование Фурье легко: $$(-\gamma^\mu p_\mu - m)\, \tilde{G}(k) = 1$$ (где $\tilde{G}(k)$теперь представляет собой просто матрицу 4x4, «1» в правой части — это единичная матрица 4x4, а в левой — просто умножение матриц 4x4 на спинорные индексы.) Таким образом, мы, наконец, получаем $$\tilde{G}(k) = (-\gamma^\mu p_\mu - m)^{-1},$$ где инверсия теперь просто означает инверсию матрицы 4x4.

Версия TLDR такова: преобразование Фурье дифференциального выражения просто превращает его в произведение в импульсном пространстве ПФ дифференциального оператора и ПФ дифференцируемой функции. И произведения гораздо проще инвертировать (вы просто выполняете деление), чем дифференциальные операторы. Попытка «обратить» дифференциальный оператор (т. е. найти его функцию Грина) обычно очень сложна в реальном пространстве, но в импульсном пространстве это становится тривиальной задачей: вы просто берете обратную величину дифференциального оператора, преобразованного Фурье. Так что, по сути, да, для FT обратного оператора вы можете просто наивно вычислить FT оператор, а затем вставить этот FT в знаменатель.