Фотонный пропагатор в интеграле по путям

В скалярной теории поля двухточечная функция определяется выражением

$$\langle{0}| T\phi(x) \phi(y) |0\rangle= \int D[\phi] \phi(x) \phi(y) \exp[i\int d^4x\mathcal{L_{scalar}}]$$ вводя производящий функционал

$$Z=\int D\phi \exp[i\int d^4x(\mathcal{L_{scalar}}+J\phi )]$$ у нас есть

$$\langle{0}| T\phi(x) \phi(y) |0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J (x) \delta J (y)}\bigg|_{J=0}$$ Теперь в КЭД взаимодействующий фотонный пропагатор определяется выражением

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(x)|0\rangle=\int [DA] A_\mu(x) A_\nu(y) \exp[i\int d^4x \mathcal{L_{qed}}]\tag 1$$

где

$$\mathcal{L_{qed}} =\overline{\psi}(-i\gamma^\mu \partial_\mu +m)\psi+\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}+J^{\mu}A_\mu$$ с$J^{\mu} = \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$

Сейчас обычно в учебниках определяют

$$Z=\int DA \exp[i\int d^4x\mathcal{L_{qed}} ]$$

и

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(y)|0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J^\mu(x) \delta J^\nu (y)}\bigg|_{J=0} \tag 2$$

Но если мы положим$J=0$мы отключаем взаимодействие. Разве у нас не должно быть

$$\langle{0}| TA_\mu(x) A_\nu(y)|0\rangle=\frac{1}{i^2} \frac{\delta Z[J]}{\delta J^\mu(x) \delta J^\nu (y)}~? \tag 3$$ Тогда у нас было бы$(1)=(3).$