Симметрии тензора кривизны Римана Доказательство

я пытаюсь расширить

ε а б с г р а б с г
с помощью четырех тождеств тензора кривизны Римана :

Симметрия

р а б с г "=" р с г а б
Антисимметрия первой пары показателей
р а б с г "=" − р б а с г
Последняя пара индексов антисимметрии
р а б с г "=" − р а б г с
Цикличность
р а б с г + р а г б с + р а с г б "=" 0

Насколько я понимаю, условия должны аннулироваться, и я должен получить

ε а б с г р а б с г "=" 0.

В итоге у меня получился такой бардак:

ε а б с г р а б с г "=" р [ а б с г ] "=" 1 4 ! ( р а б с г − р б а с г + р б а г с − р а б г с + р с г а б − р г с а б + р г а б с + р б с г а − р с б г а + р с б а г − р а г б с + р с г а б + р а б с г − р б а с г + р б а г с − р г с а б − р с г б а + р г с б а − р а б г с + р б с г а − р б с а г + р с б а г − р с б г а + р г а б с − р а с б г + р б г а с − р г б а с + р г б с а + р а с г б − р б г с а − р а г с б − р с б а г + р б с а г − р б с г а + р а г б с − р а б г с + р б а г с − р б а с г + р а б с г − р с г б а − р б а с г + р б а г с − р а б г с + р а б с г )

где я могу избавиться от синих или фиолетовых терминов, используя цикличность, но я застрял, потому что не вижу, как я могу отменить все термины. Основная проблема, по-видимому, заключается в том, что последний член тождества цикличности

( р а с г б )
можно получить только с 5-го срока
( р а с б г )
в выражении у меня есть. После того, как я избавился от 6 членов с цикличностью, я подумал, что смогу получить то, что осталось, с некоторым отношением симметрии. Я иду по неправильному пути здесь? Нужны ли мне другие отношения? Кэрролл во «Введении в общую теорию относительности» говорит в уравнении 3.83, что все, что мне нужно сделать, это расширить выражение для
р [ а б с г ]
и возиться с индексами, используя 4 тождества, чтобы доказать, что он сводится к нулю.

Чтобы повысить наглядность, я разместил тот же вопрос на http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=4852429#post4852429 , но пока не получил ответов.

Ответы (2)

Я думаю, что нужно использовать только циклическое тождество. Сжимая обе стороны с помощью Леви-Чивиты, мы должны были

(1) 0 "=" ( р а б с г + р а г б с + р а с г б ) ε а б с г .
Позволять С "=" р а б с г ε а б с г . Затем р а г б с ε а б с г "=" − р а г б с ε а с б г "=" р а г б с ε а г б с "=" С где последним шагом является переименование фиктивных индексов. С тем же рассуждением третий член также равен С , поэтому мы (1) говорим, что 3 С "=" 0 .

Во-первых, по определению ε

ε а б с г р а б с г "=" ε а б с г р а [ б с г ] "=" любая симметризация индексов  р
Но
р а [ б с г ] "=" 1 3 ! { р а б с г − р а б г с + р а г б с − р а г с б + р а с г б − р а с б г } , "=" 1 3 { р а б с г + р а г б с + р а с г б } , "=" 0 . (по первому тождеству Бьянки)
Так,
ε а б с г р а б с г "=" ε а б с г р а [ б с г ] "=" ε а б с г × 0 "=" 0 . ◼

Симметрии тензора кривизны Римана Доказательство
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v