Тензор Римана в 2d и 3d

Question

Тензор Римана в 2d и 3d

нервххх

Итак, я, кажется, что-то упускаю здесь.

Я знаю, что число независимых коэффициентов тензора Римана равно $\frac{1}{12} n^2 (n^2-1)$ , что означает, что в 2d это 1 (т.е. тензор Римана, заданный скаляром Риччи), а в 3d это 6 (т.е. тензор Римана, заданный тензором Риччи).

Но почему это ограничивает тензор Римана функцией только метрики? Почему не тензорная комбинация производных метрики?

Я имею в виду, почему тензор Римана в 2D имеет форму

\begin{aligned} р_{а б с д} "=" \frac{р}{2} (г_{а с} г_{б д} - г_{а д} г_{б с}) \end{aligned}

$\begin{align} R_{abcd} = \frac{R}{2}(g_{ac}g_{bd} - g_{a d}g_{b c}) \end{align}$

и в 3D,

\begin{aligned} р_{а б с д} "=" ф (р_{а с}) г_{б д} - ф (р_{а д}) г_{б с} + ф (р_{б д}) г_{а с} - ф (р_{б с}) г_{а д} \end{aligned}

$\begin{align} R_{abcd} = f(R_{ac})g_{bd} - f(R_{ad})g_{bc} + f(R_{bd})g_{a c} - f(R_{bc})g_{ad} \end{align}$ где

f (R_{a b}) = R_{a b} - \frac{1}{4} R g_{a b}

$f(R_{ab}) = R_{ab} - \frac{1}{4}R g_{ab}$ ?

Википедия что-то говорит о личностях Бьянки, но я не могу понять. Подсказка, которую я получил (по крайней мере, для 2-го случая), заключалась в том, чтобы рассмотреть RHS (термины в скобках) и показать, что она удовлетворяет всем требуемым свойствам тензора Римана (прямо) и исходить оттуда - но я не был способен придумать любой аргумент, почему должен существовать уникальный тензор, удовлетворяющий этим свойствам.

Конечно, я мог бы переборщить, вычислив $R_{abcd}$ из символов Кристоффеля и т. д., но, несомненно, должен существовать более элегантный метод для доказательства приведенных выше утверждений.

Помогите, кто-нибудь? Я не смог найти никаких доказательств в Интернете - возможно, мои навыки гугления отстой.

Андрей

Что вы подразумеваете под производными метрики?

\nabla g = 0

$\nabla g =0$ так что ничего такого не увидишь. Единственные разрешенные производные представлены в виде

R_{μ ν ρ σ}

$R_{\mu\nu\rho\sigma}$ потому что это единственный тензор, который включает производные от метрики. Итак, в 2d тот факт, что есть один компонент + симметрии Римана, ограничивает Римана пропорциональным

g_{μ ρ} g_{ν σ} - g_{μ σ} g_{ν ρ}

$g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}$ , вопрос как исправить общую нормализацию. Чтобы сделать это, возьмите двойную трассировку обеих сторон, вы увидите, что единственная последовательная общая нормализация

R / 2

$R/2$ .

Кристи Стойка

Ваша формула для 3d неверна. Посмотрите на это, сделайте n=2,3 и поймите, почему en.wikipedia.org/wiki/Ricci_decomposition

Кристи Стойка

Возможно, я должен упомянуть, что там же en.wikipedia.org/wiki/Ricci_decomposition вы найдете искомое объяснение в терминах декомпозиции в неприводимых представлениях. Вы увидите, почему при n<4 формула становится проще, а при n=2 даже проще, чем при n=3.

нервххх

@CristiStoica А, хорошо, спасибо. Я просто скопировал это уравнение (для трехмерного случая) из решения набора задач, которое нашел в сети, так что, возможно, оно неверно...

нервххх

ах, лол, после того как я так долго думал об этом, меня, наконец, осенило, что ответ действительно очень прост - потому что есть только 1 независимая компонента, это означает, что есть только 1 базисный тензор для пространства всех таких тензоров со свойствами, которыми обладает тензор Римана обладает. С

g g - g g

$g g - g g$ , который мы вытащили из шапки, работает, это единственный базисный тензор и так

R

$R$ должно быть пропорционально

g g - g g

$g g - g g$ . Спасибо всем!

пользователь 23660

Формула для 3d была бы правильной, если бы мы изменили определение

f (R_{a b})

$f(R_{ab})$ к

f (R_{a b}) = R_{a b} - \frac{1}{4} R g_{a b}

$f(R_{ab})=R_{ab}-\frac14 R g_{ab}$ .

пользователь 23660

Несколько связанный вопрос Уникальность тензора кривизны Римана

нервххх

Да, это опечатка - исправил.

Джерри Ширмер

Конечно,

R

$R$ сама по себе является тензорной комбинацией производных метрики.

Ответы (1)

Тензор Римана в 2d и 3d

Что вы подразумеваете под производными метрики? $\nabla g =0$ так что ничего такого не увидишь. Единственные разрешенные производные представлены в виде $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ потому что это единственный тензор, который включает производные от метрики. Итак, в 2d тот факт, что есть один компонент + симметрии Римана, ограничивает Римана пропорциональным $g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}$ , вопрос как исправить общую нормализацию. Чтобы сделать это, возьмите двойную трассировку обеих сторон, вы увидите, что единственная последовательная общая нормализация $R/2$ .
Ваша формула для 3d неверна. Посмотрите на это, сделайте n=2,3 и поймите, почему en.wikipedia.org/wiki/Ricci_decomposition
Возможно, я должен упомянуть, что там же en.wikipedia.org/wiki/Ricci_decomposition вы найдете искомое объяснение в терминах декомпозиции в неприводимых представлениях. Вы увидите, почему при n<4 формула становится проще, а при n=2 даже проще, чем при n=3.
@CristiStoica А, хорошо, спасибо. Я просто скопировал это уравнение (для трехмерного случая) из решения набора задач, которое нашел в сети, так что, возможно, оно неверно...
ах, лол, после того как я так долго думал об этом, меня, наконец, осенило, что ответ действительно очень прост - потому что есть только 1 независимая компонента, это означает, что есть только 1 базисный тензор для пространства всех таких тензоров со свойствами, которыми обладает тензор Римана обладает. С $g g - g g$ , который мы вытащили из шапки, работает, это единственный базисный тензор и так $R$ должно быть пропорционально $g g - g g$ . Спасибо всем!
Формула для 3d была бы правильной, если бы мы изменили определение $f(R_{ab})$ к $f(R_{ab})=R_{ab}-\frac14 R g_{ab}$ .
Несколько связанный вопрос Уникальность тензора кривизны Римана
Конечно, $R$ сама по себе является тензорной комбинацией производных метрики.

пользователь 23660 · Answer 1

Простота геометрии в более низких измерениях связана с тем, что тензор кривизны Римана может быть выражен в терминах более простого тензорного объекта: скалярной кривизны и метрики (в 2d) или тензора Риччи и метрики (в 3d). Этот факт, конечно, не меняет возможности записи тензора Римана (а также тензора Риччи и скалярной кривизны) в виде комбинации метрических производных. Но каждый терм в такой комбинации не является тензором — только целым объектом.

Теперь давайте вспомним, почему в меньших измерениях мы можем свести тензор Римана к комбинации тензорных объектов более низкого ранга.

Для третьего случая определение тензора Риччи:

р_{а б} "=" р_{а б с д} г^{а с}

$R_{ab} = R_{abcd}g^{ac}$

содержит 6 независимых компонент, ровно столько же независимых компонент в тензоре Римана. Таким образом, это уравнение можно было бы обратить , таким образом выражая $R_{abcd}$ с точки зрения $R_{ab}$ и $g_{ab}$ .

Во втором случае мы могли бы аналогичным образом начать с определения скаляра Риччи:

р "=" р_{а б} г^{а б},

$R = R_{ab} g^{ab} ,$

и перевернуть его, выражая $R_{ab}$ через $g_{ab}$ и $R$ . Следующим шагом будет выражение тензора Римана с помощью $g_{ab}$ и $R_{ab}$ (и, таким образом, через скаляр $R$ только).

Я думаю, что он имеет в виду частные производные, а не ковариантные производные метрики.
В более высоких измерениях в игру вступают метрические производные, не так ли? Это частные производные, а не ковариантные производные, записанные таким образом, что результирующее выражение является тензорным. В конце концов, тензор Римана можно составить из символов Кристоффеля и их производных, поэтому общий тензор Римана содержит $g, \partial g, \partial^2 g$ .
Да, очевидно, тензор Римана можно записать как комбинацию производных метрики. Здесь мы пытаемся исследовать возможность построения тензора Римана из некоторых более простых (то есть более низкого ранга) тензорных объектов. (Отредактировал мой ответ, чтобы подчеркнуть этот момент).
@nervxxx: тензор Риччи УЖЕ представляет собой комбинацию производных метрики.
@ user23660 Я не уверен, что понимаю, почему ты говоришь $R_{ab} = R_{abcd}g^{ac}$ . Это опечатка? Тот же вопрос о "выражении $R_{abcd}$ с точки зрения $R_{ab}$ и $g^{ab}$ "

Тензор Римана в 2d и 3d

нервххх

Андрей

Кристи Стойка

Кристи Стойка

нервххх

нервххх

пользователь 23660

пользователь 23660

нервххх

Джерри Ширмер

Ответы (1)

пользователь 23660

Кристи Стойка

нервххх

пользователь 23660

Джерри Ширмер

Карла

Вывод тензора Вейля

Тензор Киллинга и тождество тензора Римана

Симметрии тензора кривизны Римана Доказательство

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Идентификация Бьянки с использованием нулевой тетрады

Вопрос от Шутца

Вариация относительно RabcdRabcdR_{abcd}? Как вычислить∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Задача о вычислении тензора кривизны nnn-мерной сферы

Ненулевые компоненты тензора Римана для метрики Шварцшильда

Разница между ∂∂\partial и ∇∇\nabla в общей теории относительности