Что такого особенного в спонтанном нарушении симметрии? (пример обращения времени)

Question

Что такого особенного в спонтанном нарушении симметрии? (пример обращения времени)

Физика
ферромагнетизм
конденсированное вещество
квантовая механика
нарушение симметрии
симметрия обращения времени

Нежить

У меня серьезные проблемы с пониманием концепции спонтанного нарушения симметрии (особенно в конденсированных средах). Возьмем в качестве примера обращение времени в магнитных системах.

Говорят, что ферромагнетизм спонтанно нарушает симметрию обращения времени. Насколько я понимаю, симметрию обращения времени можно понять с помощью оператора обращения времени $\mathcal{T}$ который меняет знак всего импульса и спина, так что $\mathcal{T} S_{zi} =- S_{zi} \mathcal{T}$ .

Возьмем гамильтониан, который может генерировать ферромагнетизм, как Изинг.

{ЧАС}_{0} "=" - Дж \sum_{< я, Дж >} С_{г я} С_{г Дж}

$H_0 = -J \sum_{<i,j>} S_{zi} \ S_{zj}$ и заметьте, что

[T, H_{0}] = 0

$[\mathcal{T}, H_0] = 0$ потому что есть два спиновых оператора. Так что здесь нет нарушения симметрии.

По-видимому, спонтанное нарушение симметрии проявляется в асимметрии основного состояния, а не гамильтониана. Для гамильтониана есть два основных состояния со всеми спинами вверх. ${\left|\left. \uparrow \right>\right.}^{\otimes n}$ и один со всеми спинами вниз ${\left|\left. \downarrow \right>\right.}^{\otimes n}$ . С $\mathcal{T} {\left|\left. \uparrow \right>\right.}^{\otimes n} = {\left|\left. \downarrow \right>\right.}^{\otimes n}$ , обращение времени удерживает вас в основном состоянии, поэтому здесь нет нарушения симметрии.

Часто отмечают, что понижение температуры ниже критической нарушает симметрию обращения времени, потому что вы обнаружите, что система демонстрирует неисчезающую намагниченность и, таким образом, находится в определенном основном состоянии, а не в суперпозиции обоих. Но это только так, потому что какой-то шум в окружающей среде (это может быть и неисправность в системе) заставлял систему выбирать определенное направление. Мы могли бы просто добавить этот шум в модель, сказав

ЧАС "=" {ЧАС}_{0} + дельта ЧАС

$H= H_0 + \delta H$ с

[T, δ H] \neq 0

$[\mathcal{T}, \delta H] \neq 0$ . Тогда полный гамильтониан не симметричен.

В этом суть так называемого «спонтанного нарушения симметрии»? Если да, то что в нем особенного?
Не могли бы мы просто сказать, что ниже критической температуры система сильно восприимчива (буквально, поскольку восприимчивости разрывны) к малым возмущениям?
Существует ли строгое определение того, что такое спонтанное нарушение симметрии?

Ответы (2)

Что такого особенного в спонтанном нарушении симметрии? (пример обращения времени)

Рубен Верресен · Answer 1

Действительно, одно из определений спонтанного нарушения симметрии дается с точки зрения его восприимчивости:

Предположим, мы добавляем возмущение, нарушающее симметрию $h \; \delta H$ нашему гамильтониану (как и вы), если
$\underset{час \to 0}{лим} \underset{Н \to \infty}{лим} ⟨ м ⟩ \neq 0$ $\lim_{h \to 0} \lim_{N \to \infty} \langle m \rangle \neq 0$ тогда мы говорим, что наша система имеет спонтанное нарушение симметрии.

(Примечание: $N$ это количество спинов в нашей системе. Действительно, на математическом уровне неаналитичность может возникнуть только в термодинамическом пределе.)

Особенность состоит в том, что годится любое сколь угодно малое возмущение . Представьте, что у вас есть миллион спинов. Если состояние изначально находится в симметричном состоянии (т. е. симметрия еще не нарушена), то даже если я просто приложу произвольно малое магнитное поле к одному спину, вся система выберет эту ориентацию.

Вы предполагаете, что человек в принципе нуждается в окружении, чтобы «сделать выбор», что на самом деле это не спонтанно. Это правда, что в этом философском смысле слова направление намагничивания не является «самопроизвольным». Но что можно назвать спонтанным во Вселенной? Если я идеально уравновешиваю яйцо, то направление, в котором оно в конце концов покатится, потеряв равновесие, будет спонтанным (или не спонтанным) в точно таком же смысле. И заметьте, что как только яйцо скатилось (и остановилось), крошечных возмущений в воздухе, которые повлияли на его первоначальное направление, теперь уже недостаточно, чтобы изменить его положение. То есть: после "самопроизвольного" процесса система теперь устойчива.

То же самое происходит и с указанным выше магнитом: как только он выбрал направление намагниченности, изменение приложенного магнитного поля к тому единственному спину, о котором я упоминал ранее, не изменит общую намагниченность. Так что в этом смысле неправда , что он настолько восприимчив! Нужно приложить обширное магнитное поле (то есть поле, которое действует на большинство спинов), чтобы изменить направление намагниченности.

Вот что забавно в этих системах:

Сколь угодно малое возмущение может создать намагниченность, но не изменить ее!

С точки зрения квантовой механики, если у вас есть гамильтониан, основное состояние которого должно демонстрировать спонтанное нарушение симметрии, то если принять, что основное состояние находится в симметричной суперпозиции (что всегда можно сделать), то это состояние имеет смехотворно длинную запутанность . . Это называется кошачьими состояниями (в отношении кота Шредингера). Это естественное следствие сказанного выше: взаимодействие с одним спином должно влиять на все спины сразу, что возможно только в том случае, если каждый отдельный спин запутан со всеми остальными спинами. Примером является государство $|\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle + |\downarrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle$ . (Действительно: взаимодействие с одним спином приведет к коллапсу этого «состояния кошки» в состояние продукта, и тогда становится ясно, что любое последующее взаимодействие с одним спином не может перевернуть это состояние в другое состояние продукта.) Действительно, способ нарушения симметрии фазы классифицируются в одном пространственном измерении с точки зрения этих свойств запутанности [Schuch et al., 2010] .

Отличный ответ спасибо! Итак, эквивалентна ли эта «односторонняя» чувствительность к возмущениям явлению, называемому гипергистерезисом?
Не совсем. Простое отличие состоит, например, в том, что гистерезис имеет значение даже при применении глобального (т.е. экстенсивного) магнитного поля.
Другой вопрос: знаете ли вы, есть ли способ доказать, что определение, которое вы даете, эквивалентно определению, данному GaragePhys ниже?

ГаражФиз · Answer 2

ГаражФиз

Вы уже упомянули точное определение спонтанного нарушения симметрии:

Спонтанное нарушение симметрии для системы, описываемой гамильтонианом $H$ с основным состоянием $\left| g \right\rangle$ происходит там, где происходит преобразование симметрии $H$ это не оставляет основное состояние инвариантным

[Т, ЧАС] "=" 0 но Т | г ⟩ \neq 0.

$[T,H] = 0 \text{ but } T \left| g \right\rangle \neq 0.$ Подобно тому, как палка, стоящая на кончике, может вращаться вокруг себя, но в конечном итоге вернется в «основное состояние», в котором больше нет этой вращательной симметрии.

Пример, который вы цитируете, является статистической теорией, поэтому флуктуации, приводящие систему в состояние неисчезающей намагниченности ниже критической температуры, уже заложены с самого начала.

Спонтанное нарушение симметрии является ключевым элементом Стандартной модели физики элементарных частиц. Оно используется для объяснения того, почему частицы, передающие слабое взаимодействие, массивны (W- и Z-бозоны, это замечательно, потому что вы не можете достичь этого, просто поставив массовый член в лагранжиане!).

Но это также работает и наоборот, поскольку объясняет, почему иногда в системе существуют безмассовые моды (см. бозоны Голдстоуна).

Нежить

Спасибо за Ваш ответ! Я не уверен, что это опечатка, вы имеете в виду

T \left g \right \rangle \neq  \left g \right \rangle

$T \left g \right \rangle \neq \left g \right \rangle$ вместо? Потому что я не вижу причин, по которым он мог бы дать 0. Возьмем случай гамильтониана, симметричного по четности, как гармонический осциллятор. Затем применение оператора четности к основному состоянию возвращает основное состояние, а не 0.

ГаражФиз

Нет, это не опечатка, что вы имеете в виду под символом

T

$T$ является генератором симметрии, которая является ее бесконечно малой версией. Например, если у вас есть вращения в трехмерном пространстве, действующие на вектор:

| x ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x \end{matrix})

$\left| x \right\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\x\end{pmatrix}$ Рассмотрим преобразование:

ГаражФиз

| Икс ⟩ \to р | Икс ⟩ с р "=" (\begin{matrix} с о с (α) & с я н (α) & 0 \\ - с я н (α) & с о с (α) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \approx α \underset{"=" Т}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})}} + (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\left| x \right\rangle\rightarrow R \left| x \right\rangle \text{ with } R = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \approx \alpha \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 &0 & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}}_{ = T} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$ Здесь

| x ⟩

$\left| x \right\rangle$ четко инвариантен относительно

R

$R$ , что выражается

T | x ⟩ = 0

$T \left| x \right\rangle= 0$ Здесь вы найдете больше об этом: \url{ en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_quantum_mechanics }.

Нежить

Я понимаю что ты имеешь в виду! Кроме того, знаете ли вы, где я могу найти исчерпывающее объяснение того, что такое бозоны Голдстоуна (учитывая, что я из конденсированного состояния и не знаком с формализмом теории поля)

ГаражФиз

Я думаю, что обсуждение у Пескина должно быть вполне доступным, он доказывает теорему Голдстоуна на одной странице в главе 11.1 на странице 351.

ГаражФиз

Полное название — «Введение в квантовую теорию поля», это стандартный справочник по КТП.

Что такого особенного в спонтанном нарушении симметрии? (пример обращения времени)

Нежить

Ответы (2)

Рубен Верресен

Нежить

Рубен Верресен

Нежить

ГаражФиз

Нежить

ГаражФиз

ГаражФиз

Нежить

ГаражФиз

ГаражФиз

Симметрия обращения времени

Локализация 4f4f4f в редкоземельных и 3d3d3d электронов в переходных металлах

Как строго доказать, что состояние суперпозиции нестабильно в случае спонтанного нарушения симметрии

Если мы охладим топологически упорядоченную систему до нулевой температуры, окажется ли она в чистом или смешанном основном состоянии?

Нарушают ли спин-спиновые взаимодействия симметрию обращения времени?

Почему в антиферромагнитной модели Гейзенберга существуют бесщелевые возбуждения, тогда как истинное основное состояние является синглетным?

Как понять разницу возбуждения спиновых волн для ферромагнетизма (квадратичная дисперсия) и антиферромагнетизма (линейная дисперсия)?

Могут ли спиновые жидкости без симметрии вращения-вращения и обращения времени обладать ненулевыми параметрами порядка волны спиновой плотности (ВСП)?

Наивные вопросы о модах Голдстоуна и возможной связи двойственности?

Почему диполь-дипольное взаимодействие не приводит к ферромагнитному упорядочению?