Как мы определим действие оператора обращения времени Θ на бра-состояние ⟨φ|, т. е. ⟨φ|Θ?

Предположим, что гамильтониан H симметричен с обращением времени: Θ ЧАС Θ − 1 "=" ЧАС . И H ​​можно разложить по полному базису | к , α ⟩ , т.е. ЧАС "=" ∑ к ∑ α , β | к , α ⟩ ⟨ к , β | , и я пытаюсь вывести соответствующую форму для симметрии обращения времени ЧАС ( к ) "=" ∑ α , β | к , α ⟩ ⟨ к , β | . Ответ должен быть θ · ЧАС ( к ) · θ − 1 "=" ЧАС ( − к ) . Да, это общий результат физики конденсированного состояния при рассмотрении гамильтониана в импульсном пространстве.

Здесь я столкнулся с проблемой, как мне лечить ⟨ к , β | θ − 1 . Если я просто сделаю это равным ⟨ − к , β | можно вывести нужный результат. Но я не чувствовал себя в безопасности, когда делал это, особенно я знаю, что это противоречит трактовке Сакураи оператора обращения времени:

На самом деле мы даже не пытаемся определить ⟨β|Θ. Это одно из мест, где обозначения скобок Дирака немного сбивают с толку. В конце концов, эта нотация была изобретена для обработки линейных, а не антилинейных операторов.

- Современная квантовая механика (2-е изд.) Сакураи, стр. 292.

Так безопасно ли лечить ⟨ ф | θ − 1 как бюстгальтер θ | ф ⟩ ? Если нет, то как я могу выполнить вышеуказанный вывод более безопасным способом?

Лесли Э. Баллентайн упоминает в своей книге « Квантовая механика — современное развитие», что «Мессия (1966) позволяет антилинейным операторам действовать либо влево, либо вправо, но, как следствие, он должен предупредить своих читателей, что ( ⟨ ξ | А ) | ф ⟩ ≠ ⟨ ξ | ( А | ф ⟩ ) , и, следовательно, общее выражение ⟨ ξ | А | ф ⟩ становится неопределенным». Так что «Квантовая механика » Альберта Мессии может вас заинтересовать.

Ответы (1)

Сложность следующая. Как правило, бюстгальтер ⟨ Θ ψ | (соответствует кет Θ | ψ ⟩ ) было бы ⟨ ψ | Θ † . Прилегающий Θ † оператора Θ обычно определяется

⟨ ψ | Θ † | ф ⟩ "=" ⟨ Θ ψ | ф ⟩ "=" ( ⟨ ф | Θ ψ ⟩ ) * "=" ( ⟨ ф | Θ | ψ ⟩ ) * .
(Для удобства я включил несколько эквивалентных определений). Однако это определение сопряженного не работает для антилинейных операторов. Это связано с тем, что левая часть этого уравнения была бы антилинейной по ψ в то время как правые выражения были бы линейными по ψ . Вместо этого для антилинейных операторов мы определяем сопряженный, который я буду обозначать как Θ Т , с использованием
⟨ ψ | Θ Т | ф ⟩ "=" ⟨ ф | Θ | ψ ⟩ "=" ⟨ ф | Θ ψ ⟩ "=" ( ⟨ Θ ψ | ф ⟩ ) * .
При таком определении сопряженного антиунитарное условие становится Θ Т "=" Θ − 1 . Однако не совсем понятно, что ⟨ Θ ψ | является. Связь есть, но ее не так просто увидеть в нотации скобок. Мы должны использовать отношение полноты ∫ г ф | ф ⟩ ⟨ ф | "=" 1 .
⟨ Θ ψ | "=" ∫ г ф ⟨ Θ ψ | ф ⟩ ⟨ ф | "=" ∫ г ф ( ⟨ ψ | Θ Т | ф ⟩ ) * ⟨ ф | .
Я не уверен, что это можно еще упростить.

Как мы определим действие оператора обращения времени Θ на бра-состояние ⟨φ|, т. е. ⟨φ|Θ?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v