Как происходит отслеживание физической операции?

Частичный след над$B$квантового состояния двудольной системы$AB$соответствует отбрасыванию$B$: то есть приведенная матрица плотности$\rho_A=\mathrm{Tr}_B(\rho_{AB})$является полным описанием состояния системы для любых и всех измерений, которые полностью локальны для$A$.

Это можно уточнить, рассмотрев произвольный эрмитов оператор измерения$\mathcal O_A$(который включает, среди прочего, собственные проекторы, соответствующие измерению некоторых других наблюдаемых), чье среднее значение равно

$$\langle \mathcal O_A\rangle = \mathrm{Tr}\mathopen{}\left( \hat{\rho}_{AB} \ \hat{\mathcal O}_A\otimes \mathbb I\right)\mathclose{}.$$ Здесь след можно разложить как $$\langle \mathcal O_A\rangle = \mathrm{Tr}_A\mathopen{}\left( \mathrm{Tr}_B\mathopen{}\left( \hat{\rho}_{AB} \ \hat{\mathcal O}_A\otimes \mathbb I\right)\mathclose{}\right)\mathclose{},$$ и с тех пор $\hat{\mathcal O}_A$не действует на $B$сектор, его можно исключить из $B$след, давая $$\langle \mathcal O_A\rangle = \mathrm{Tr}_A\mathopen{}\left( \mathrm{Tr}_B\mathopen{}\left( \hat{\rho}_{AB}\right)\mathclose{} \hat{\mathcal O}_A\right)\mathclose{},$$ или другими словами, $$\langle \mathcal O_A\rangle = \mathrm{Tr}_A\mathopen{}\left( \hat{\rho}_{A} \hat{\mathcal O}_A\right)\mathclose{}.$$ Таким образом, если вы хотите предсказать результаты любого возможного эксперимента, который включает только $A$, то вам нужно не больше и не меньше, чем $\hat{\rho}_{AB}$.